第五章内力计算

叠加原理在小变形和线形条件下，杆件所有内力分量作用的效果，可以视为各个内力分量单独作用效果的叠加。

yxzF1

F2FRMMzMyMxFsyFszFNFs

山东大学计算简图：压杆拉杆山东大学轴力FN(axialforce)——分布内力系的合力（1）截开（2）代替FNFN（3）平衡拉为正(+)，压为负(-)山东大学外力不能沿作用线移动。对变形体而言，力是定位矢量。注意截面不能切在外力作用点处，因为实际的力只可能作用于一定微小面积内。轴力图(Axialforcediagram):用平行于杆轴线的坐标

表示横截面的位置，绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。山东大学20KN20KN40KN112220KN20KN20KN20KN40KN一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。山东大学4KN5KN2KNF2F4KN9KN3KN2KN山东大学山东大学1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正的轴力，解得的轴力正负号，就是该截面上内力的实际符号。3、集中外力作用的截面上，轴力图有突变，突变大小等于集中力大小;突变方向看该集中力对后段杆的作用是正（拉伸）或负（压缩），正者向上突变，负者向下突变。或2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式；并注上符号注意山东大学解：取左侧x段为对象，内力FN(x)为：qq

LxO图示杆长为L，受分布力q=kx作用。Lq(x)FNxO–FN(x)xq(x)山东大学轴：以扭转为主要变形的构件称为轴

（以圆截面等直杆为主）。扭水龙头用钥匙扭转开门酒瓶软木塞的开瓶器小轿车的方向盘工作自行车的脚蹬工作机器轴的转动改锥上螺丝钉山东大学一传动轴，转速为n转/min，轴传递功率由主动轮输入，由从动轮输出。若功率为P千瓦（KW)。从动轮主动轮从动轮nMe2Me1Me3若传递功率单位为马力（PS)时,由于1PS=735.5N·m/s山东大学T称为截面n-n上的扭矩(torsion)。Mex••nnMeMe•xTMe•xT山东大学右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)扭矩的正负号规定：山东大学用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，由结果符号确定最终正负号。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。注意

扭矩图：沿杆件轴线各横截面扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。山东大学例试绘制图示圆轴的扭矩图山东大学

一传动轴，其转速n=300r/min，主动轮输入的功率为有P1=500kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。试做扭矩图。ABCDP1P2P3P4n山东大学解:计算外力偶矩最大扭矩在CA段内。若调换主动轮A与从动轮D的位置呢？+4.789.566.37xT(KN.m)山东大学山东大学以弯曲变形为主要变形的杆件。梁山东大学纵向对称面对称轴轴线变形后的轴线具有纵向对称面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线对称弯曲（或平面弯曲），可用梁的轴线代替梁。山东大学山东大学尽管外力作用在形心上，截面弯曲同时产生扭转非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内山东大学简支梁Simplebeam外伸梁Beamwithanoverhang

悬臂梁CantileverbeamFAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA集中载荷分布载荷集中力偶静定梁梁的力学模型山东大学火车轮轴简化山东大学FNFSM

FS剪力Shear-force平行于横截面的内力系合力

M

弯矩bending-moment

垂直于横截面的内力系的合力偶矩FByFNFSMFAy山东大学剪力与弯矩的符号规定：弯矩：下凸为正，反之为负剪力：

“左上右下”为正，反之为负山东大学若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）。向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。山东大学例如图所示的悬臂梁，求截面C及距A端为x处截面的内力。解：1.求支反力山东大学2.求截面C的内力注：对悬臂梁，可取截面到自由端部分为研究对象，可省略求支反力3.求距A为x处截面的内力MCFSCMxFSx山东大学将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，称为剪力图和弯矩图剪力、弯矩方程法

第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出FS(x）和M(x)方程。分段点为集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处。

第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。并注明的数值。山东大学q悬臂梁受均布载荷作用。解：xFSxMxl4qx山东大学BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。解：FAy＝Fb/lFBy＝Fa/lx2FSxMxx1ACCBCFab山东大学集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。山东大学BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。解：FAy＝M/lFBy＝-M/lx2x1ACCBCMab在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为而剪力图无改变。山东大学BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用解：FAy＝FBy＝ql/2yxCxFSxMx在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。山东大学注意x取值范围等号的取法：1.若载荷为集中力(剪力图中有突变)，剪力方程中x的取值没有等号；2.若载荷为集中力偶(弯矩图中有突变)，弯矩方程中x的取值没有等号；3.对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等才有“＝”,即剪力图和弯矩图为连续时才有等号。(0≤x≤a),(a≤x≤l)(0<x<l)山东大学集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小，而剪力图无改变。总结山东大学规定：分布载荷以向上为正。山东大学上式再对x一次微分，得弯矩图上某点处的斜率等于梁在该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的斜率变化率等于梁在该点处的分布载荷集度。剪力图上某点处的斜率等于梁在该点处荷载集度的大小。山东大学梁段上无荷载作用，即q(x)＝0时，剪力FS(x)=C(常数），剪力图为一条水平直线；xFS(x)oxoM(x)弯矩M(x)＝Cx

＋D,即弯矩为x的一次函数，弯矩图为一斜直线，xFS(x)oxoM(x)山东大学剪力FS(x)为x的一次函数,剪力图为斜直线，而弯矩M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。若q(x)=常数，xFS(x)oxFS(x)oxoM(x)xoM(x)山东大学若某截面的剪力，根据，该截面的弯矩为极值。在集中力F作用处，剪力图有突变,突变值等于集中力F的大小，弯矩图为折角点；在集中力偶M作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变值等于力偶矩M。FSmax出现的地方：①集中力F作用处；②支座处；Mmax出现的地方：①剪力FS=0的截面；②集中力F作用处；③集中力偶M作用处。山东大学

以上两式表明，在x=x2和x=x1两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系山东大学利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：1．求支座反力；2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；3．求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4．确定和。山东大学一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置q<0向下的均布荷载无荷载集中力FC集中力偶mC上凸的二次抛物线在FS=0的截面一般斜直线或在C处有突变F在C处有尖角或在剪力突变的截面在C处无变化C在C处有突变m在紧靠C的某一侧截面向右下倾斜的直线水平直线山东大学解：1.求支反力2.画剪力图在AC段，q=0，该段剪力图(-)在AB段，q=C<0，该段剪力图(\)在A点，因有反力FA，剪力图有突变，突变值为=FA。3.画弯矩图在CA段，q=0，FS＜0，弯矩图(\)；在AB段，q=C<0,弯矩图(⌒)；在FS=0的截面处，M图取极值；在A点，因有力偶m，弯矩图有突变，突变值为=m

。山东大学试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

做做看对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。山东大学立柱刚节点横梁立柱刚节点横梁平面刚架（planeframemembers)：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。内力:剪力、弯矩、轴力山东大学刚架内力图的画法(1)无需建立坐标系；(2)控制面、平衡方程；(3)弯矩的数值标在受拉边,不标正负号;(4)轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；(5)注意节点处的平衡关系。山东大学节点处的平衡关系FNFNFsFsMMFNFsFNFsMM山东大学对CA段距右端为x1的截面对BA段距B端为x2的截面山东大学弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：画在刚架轴线任一侧（通常正值画在刚架外侧），注明正负号。山东大学FNFQqa2/2qa2/2山东大学平面曲杆(Planecurvedbars)：轴线为一平面曲线的杆件。