第三章 静定结构的受力分析

第三章静定结构的受力分析§3-1静定单跨梁（梁的内力计算的回顾）§3-2静定多跨梁§3-3静定平面刚架§3-4三铰拱§3-5静定平面桁架§3-6组合结构§3-7静定结构的特性§3-8静定结构总论重点：叠加法绘制静定梁和静定刚架的弯矩图难点：快速绘制静定梁与静定刚架的弯矩图本章主要讨论静定结构的内力计算方法及其内力图的绘制。本章主要内容1静定结构—在任意荷载下，未知力仅用静力平衡方程即可完全确定未知力数＝独立静力平衡方程数超静定结构—未知力仅由静力平衡方程不能完全确定未知力数>独立静力平衡方程数

重要性

—是结构位移计算、超静定结构内力计算乃至整个结构力学课程的基础2要求：深入理解静定结构内力计算的原理熟练掌握静定结构内力计算的方法

了解静定结构的特性和各类结构的受力特点

几何组成分析与本章的关系：

判断结构是否静定

静定↔几何不变且无多余约束提示分析途径，简化内力计算

内力计算前先作组成分析，事半功倍3§3—1梁的内力计算的回顾

单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的基构件之一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。这里做简略的回顾和必要的补充。1.单跨静定梁的反力常见的单跨静定梁有：简支梁外伸梁悬臂梁反力只有三个，由静力学平衡方程求出。↙↑↑→↑→↑↑→↷↙↙42.用截面法求指定截面的内力在梁的横截面上,一般有三个内力分量:轴力FN、剪力FS、弯矩M。计算内力的基本方法是截面法(见图)。（1）轴力N:其数值等于截面一侧所有外力沿截面法线方向投影的代数和。（2）剪力Q:其数值等于截面一侧所有外力沿截面切线方向投影的代数和。（左上右下为正）（3）弯矩M:其数值等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）AKYAXANQMP1KAB↙↘P1P2其结论是：↙5（1）轴力N:拉伸为“﹢”；压缩为“﹣”。（2）剪力Q:绕隔离体顺时针转动为“﹢”；逆时针转动为“﹣”（3）弯矩M:对横梁：使其上凹下凸为“﹢”；上凸下凹为“﹣”。内力符号6对于直梁，当所受荷载均垂直于梁轴线时，横截面上只有剪力和弯矩，没有轴力。（1）用平行于杆轴线的坐标表示截面的位置（此坐标轴常称为基线）。（2）用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标）表示内力的大小。（3）在土木工程中，弯矩图习惯绘制在杆件受拉的一侧，弯矩图上不用注明正负号；剪力图和轴力图则将正值的竖标绘制在基线的上方，同时表明正负号。内力图的要求：为直观反应结构上各截面内力数值，通常用内力图表示。73.利用分布荷载集度q(x)、剪力Q(x)和弯矩M(x)之间的关系快速绘制作内力图

三者的微分关系：据此，得直梁内力图的形状特征利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）梁上情况q=0Q图M图水平线⊕斜直线q=常数q↓q↑斜直线抛物线⌒⌒↓↑FS=0处有极值P作用处有突变突变值为P有尖角尖角指向同P如变号有极值M作用处无变化有突变铰或自由端(无M）M=0⊖㊀8简易法绘制内力图的一般步骤：（1）求支反力。

2）分段：（3）定点：（4）联线：凡外力不连续处均应作为分段点，如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。据各梁段的内力图形状，选定控制截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各控制点。据各梁段的内力图形状，分别用直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。94.利用叠加法作弯矩图利用叠加法作弯矩图很方便,以例说明:从梁上任取一段AB其受力如（a）图所示，（b）

因此，梁段AB的弯矩图可以按简支梁并应用叠加法来绘制。＝MAMB+＝＝ABLMAMB（a）MAMBABMAMB则它相当（b）图所示的简支梁。10例3-1

作梁的Q、M图。解：首先计算支反力由∑MB=0,有RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0得RA=58kN（↑）再由∑Y=0,可得RB=20+30+5×4－58=12kN（↑）RA=58kN（↑）RB=12kN（↑）作剪力图（简易法）作弯矩图：

1.分段：2.定点:MC=0MA=－20kN·mMD=18kN·mME=26kN·mMF=18kN·mMG左=6kN·mMG右=－4kN·mMB左=－16kN·mMC=0,MA=－20×1=－20kN·mMD=－20×2+58×1=18kN·mME=－20×3+58×2－30×1=26kN·mMF=12×2－16+10=18kN·mMG左=12×1－16+10=6kN·mMG右=12×1－16=－4kN·mMB左=－16kN·m3.联线RARB20388Q图(kN)201826186416M图(kN·m)012

分为CA、AD、DE、EF、FG、GB六段。11几点说明：

1.作EF段的弯矩图用简支梁叠加法2.剪力等于零截面K的位置

3.K截面弯矩的计算MK=ME+FSEx－=26+8×1.6－=32.4kN·mQK=QE－qx=8－5x=0

RARBKMmax=32.4kn·NM图(kN·m)x=1.6m38812Q图(kN)20Kx1.6mMk125斜杆的受力分析计算斜杆截面内力的基本方法仍然是截面法。斜杆计算中的特点：斜杆截面的轴力和剪力方向都是倾斜的。为了说明简支斜杆在竖向荷载作用下的受力特点，特与水平跨度相同，承受的竖向荷载相同的简支水平梁作比较。，，，，，，

斜杆的支反力C截面的内力，，136简支曲梁的受力分析计算简支截面内力的基本方法仍然是截面法。为了说明简支曲梁在竖向荷载作用下的受力特点，特与水平跨度相同，承受的竖向荷载相同的简支水平梁作比较。，，，，，，

简支曲梁的支反力C截面的内力，，14§3—2静定多跨梁

1.静定多跨梁的概念

若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础相联而组成的结构。

2.静定多跨梁的特点:(1)几何组成上:

可分为基本部分和附属部分。15基本部分：

不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几何不变性的部分。附属部分：

必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分。如BC部分。层叠图：

为了表示梁各部分之间的支撑关系，把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层，（a）（b）如：AB、CD部分。（b）图所示，称为层叠图。ABCD16（2）受力分析方面:

作用在基本部分上的力不传递给附属部分,而作用在附属部分上的力传递给基本部分，如图所示

因此，计算静定多跨梁时应该是先附属后基本，这样可简化计算，取每一部分计算时与静定单跨梁无异。（a）（b）BAP1P2VBVCP2P117例3-2计算下图所示静定多跨梁

解：

首先分析几何组成:AB、CF为基本部分，BC为附属部分。画层叠图(b)

按先属附后基本的原则计算各支反力(c)图。

之后，逐段作出梁的弯矩图和剪力图。10125M图(kN·m)1852.59.5Q图(kN)10951200（a)5554918kN·m56kN/m7.521.530(c)ABCDEF↓4kN↓10kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN/m2m2m2m2m2m2m2m(b)10kNBCAB↷CDEF18例3-3作此静定多跨梁的内力图解：

本题可以在不计算支反力的情况下，首先绘出弯矩图。弯矩为直线的梁段，

在此基础上，剪力图可据微分关系或平衡条件求得。例如：QCE=2kNQB右=7.5kN可利用微分关系计算。如CE段梁：FSCE=弯矩图为曲线的梁段，可利用平衡关系计算两端的剪力。如BC段梁,由∑MC=0,求得：FSB右=RA=11.5kNRC=10.5kNRE=4kNRG=6kNRA=11.5kNRC=10.5kNRE=4kNRG=6kN48·52247·544M图(kN·m)4008200Q图（kN)19§3—3静定平面刚架

1刚架的概念：平面刚架：由梁和柱通过刚结点连结的整体承载结构。所有杆件轴线及荷载均作用在同一平面内的刚架。2刚架的特点：（1）具有刚结点。刚架结构不必依靠斜杆支承来维持结构的几何不变性，因此，刚架结构所需杆件数少，内部空间较大。（2）刚架中各杆内力分布较均匀。由于刚架结构中具有刚结点，它能承受和传递力和弯矩，可以削减结构中弯矩的峰值，使杆件内力分布较均匀。203刚架的基本型式（1）悬臂刚架（2）简支刚架（3）三铰刚架214静定平面刚架的内力分析（1）内力（2）符号弯矩

剪力

轴力剪力：杆件：顺时针为“﹢”，反之为“﹣”轴力：杆件：拉伸为“﹢”，压缩为“﹣”（3）大小弯矩

剪力

轴力

22（4）计算刚架内力的一般步骤:

（1）首先计算支反力,一般支反力只有三个,由平衡方程求得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。

（2）按“分段、定点、联线”的方法，逐个杆绘制内力图。注意：（1）M图画在杆件受拉的一侧。（2）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的任意一侧，但必须注明正负号。（3）汇交于一点的各杆端截面的内力用两个下标表示，例如：MAB表示AB杆A端的弯矩。↶MAB23例3-4作图示刚架的内力图解：（1）计算支反力由∑X=0可得：HA=6×8=48kN←HA=48kN←，由∑MA=0可得：RB=↑RB=42kN↑由∑Y=0可得：VA=42-20=22kN↓VA=22kN↓（2）逐杆绘M图CD杆：MDC=0MCD=（左）MCD=48kN·m（左）CB杆：MBE=0MEB=MEC=42×3=126kN·m（下）MEB=MEC=126kN·m（下）MCB=42×6-20×3=192kN·m（下）MCB=192kN·m（下）AC杆MAC=0MCA=144kN·m（右）48192126144（3）绘Q图CD杆：QDC=0,QCD=24kNCB杆：QBE=-42kN,QEC=-22kNAC杆：QAC=48kN,QCA=24kNVA↓←HARB↑24（4）绘FN图（略）（5）校核:内力图作出后应进行校核。M图:通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。例如取结点C为隔离体（图a），∑MC=48－192+144=0满足这一平衡条件。Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔离体，检查∑X=0和∑Y=0是否满足。例如取结点C为隔离体（图b），∑X=24－24=0∑Y=22－22=0满足投影平衡条件。（a）C48kN·m192kN·m144kN·m（b）C24kN022kN024kN22kN有：有：25例题3-5作三铰刚架的内力图解：（1）求反力由刚架整体平衡，∑MB=o可得VA=↑由∑Y=0得VB=10×4－VA=40－30=10kN↑VA↑↑VB再取刚架右半部为隔离体，由∑MC=0有VB×4－HB×6=0得HB=←由∑X=0得HA=6.67kN→HA→HB←（2）作弯矩图，以DC杆为例求杆端弯矩MDC=HA×4=－6.67×4=－26.7kN·m（外）MCD=0用叠加法作CD杆的弯矩图杆中点的弯矩为：6.7kN·m（3）作Q、N图（略）VA=30kN↑，VB=10kN↑HA=HB=6.67kN（→←）26.7206.726快速绘制刚架弯矩图

弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课程最重要的基本功之一。

静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。

例如：1.悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。2.充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。3.刚结点处的力矩平衡条件。4.用叠加法作弯矩图。5.平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。6.与杆轴重合的力不产生弯矩等。27例3-6绘制刚架的弯矩图。解：由刚架整体平衡条件∑X=0得

HB=5kN←此时不需再求竖向反力便可绘出弯矩图。MA=0,MEC=0MCE=20kN·m（外）MCD=20kN·m（外）MB=0MDB=30kN·m（外）MDC=40kN·m（外）5kNE202030407545028例3-7作刚架的弯矩图。

PaPaPaPaPaPa解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的顺序计算。这里，我们不求反力直接作弯矩图。029例3-8作刚架的内力图。

30例3-9作图示结构的弯矩图。

ABCEFDG4m2m2m3m3m40kN20kN/m31例3-10作图示结构的弯矩图。

AaqaqqB32§3—4三铰拱（一）概述（二）三铰拱的计算（三）三铰拱的合理拱轴线本节主要讨论三铰拱（静定拱）的内力计算方法及其合理拱轴线的确定。本节主要内容重点：三铰拱的内力计算及合理共轴的定义难点：三铰拱的内力计算33赵州桥，原名安济桥，建于隋炀帝大业年间（595～605年），由著名匠师李春建造，桥长64.40m，跨度37.02m,是世界上最古老的石拱桥，有“世界桥梁鼻祖”的美誉。其特点：采用“敞肩式”结构，即在拱的两肩上再辟小拱，是石拱桥结构中最先进的一种。34赵州桥位于河北省赵县境内，因赵县古称赵州而得名（又称安济桥），赵州桥建于隋开皇年间（公元595－605年）。据唐中书令张嘉贞《安济桥铭》记载：“赵郡洨河石桥，隋匠李春之迹也”。距今已有近1400年历史，它不仅是我国而且也是世界上现存最早，保存最完整的巨大石拱桥，对世界后代的桥梁建筑有着十分深远的影响，特别是拱上加拱的“敞肩拱”的运用，更为世界桥梁史上的首创。在欧洲，最早的敞肩拱桥为法国在亚哥河上修造的安顿尼铁路石拱桥和在卢森堡修造的大石桥，但它比中国的赵州桥已晚了近1100多年。

赵州桥全长64.4米，拱顶宽9米，拱脚宽9.6米，跨径37.02米，拱矢7.23米。从整体看，它是一座单孔弧形石桥，由28道石拱券纵向并列砌筑而成，其建筑结构之奇特，自古有“奇巧固护，甲于天下”的美称，不仅有高度的科学性，而且具有我国独特的民族艺术风格，是我国古代建筑的伟大作品。1991年，赵州桥被美国土木工程师学会选定为世界第十二处“国际土木工程历史古迹”，是目前国内唯一一处。

35（一）概述1.

拱的概念：

2.

拱的特点：杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产生水平反力的结构。（1）在竖向荷载作用下,支座产生水平反力（推力）。（2）拱轴线一般为曲线，拱截面上弯矩比同跨度（同荷载）梁的弯矩小，拱截面上主要承受压力，应力分布均匀。（3）由于拱的杆件是曲的，故施工麻烦。（4）由于支座处有水平推力的存在，故对拱趾处地基要求高，基础大。36拱轴线拱趾拱趾跨度起拱线拱顶拱高f拱高与跨度之比。它是拱结构设计中的重要参数之一，工程中高跨比在【1～0.1】范围内变化。高跨比(f/L)：3.

拱的各部分名称37三铰拱无铰拱二铰拱4.

拱结构的类型38（二）三铰拱的计算1.支反力的计算支反力计算同三铰刚架。

由∑MB=0及∑MA=0得VA=VB=由∑X=0可得HA=HB=H取左半拱为隔离体由∑MC=0有VAL1－P1(L1－a1)－Hf=0可得H=（a）（b）（c）→←VAVBHAHBABCfLL1L2a1P1a2P2b1b2↑↑↑↑ABP1P2C以上三式可写成：（4－1）式中

为相应简支梁的有关量值。→←VAVBHAHBABCfLL1L2a1P1a2P2b1b2↑↑↑↑ABP1P2C由式（4-1）可以看出：三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴线形状无关。2.内力的计算用截面法求任一截面K(x,y)的内力。y取AK段为隔离体,截面K的弯矩为M=[VAx－P1(x－a1)]－Hy即

M=－Hy（内侧受拉为正）截面K上的剪力为Q=VAcos－P1cos－Hsin=(VA－P1)cos－Hsin=Q0cos－Hsin截面K上的轴力(拉为正）为N=-Q0sin-HcosKQ0为相应简支梁的剪力→←HHABCa1P2P1xyxAK↑VA→H↑↙VA↑N⌒↘QMVBK41综上所述,三铰拱内力计算公式为M=－FHyQ=Q0cos-HsinFN=-Q0sin-Hcos(4－2)应用上述公式时，应注意以下问题：（1）本公式仅适用与竖向荷载作用下的水平三铰拱。（2）公式中关于符号：取左半拱，取“+”号，取右半拱，取“-”号。3.内力图的绘制沿跨长或沿拱轴选取若干截面，计算出这些截面的内力值，以拱轴线的水平投影为基线，在垂直于基线的方向上按统一比例作出相应截面的内力值，连接各截面的内力峰值线，即得相应的内力图。由式（4-2）可知，三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。42解：1.先求支座反力由式（4－1）得VA↑↑VB→←↑↑例3-11作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，其方程为VA=75.5kN↑VB=58.5kN↑H=50.25kN→←75.5kN58.5kN

2.按式（4—2）计算各截面的内力。为此，将拱轴沿水平方向八等分（见图），计算各分段点的M、Q、FN值。以1截面为例：将L=12m、f=4m代入拱轴方程得1HHVA0VB043VA↑↑VB→←58.5kN75.5kN50.25kN50.25kNxyo1234代入x1=1.5m得y1=1.75mtg1=1据此可得1=450sin1=0.707cos1=0.707于是由式（4—2）得N1=-Q10sin1-Hcon1=-(75·5－14×1·5)×0·707-50·25×0·707=-74·0kNHH440.09.612.79.60.00.10.124.70.0M图kN.mN图kN90.674.060.451.750.476.846.574.377.050.35.13.00.04.08.57.420.85.15.820.8Q图kN45（三）三铰拱的合理拱轴线1.合理拱轴线：在三铰拱及荷载确定的情况下，若拱上所有截面的弯矩都等于零，使拱轴受轴力作用时，这时的拱轴线为合理拱轴线。2.合理拱轴线的确定：

由式（4－2）的第一式得M=M0－Hy=0由此得（4－4）

上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除以常数H便得到合理拱轴线方程。46

例3-12求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。解：xyx

相应简支梁的弯矩方程为:M0=由式（4－1）得于是由式（4－4）有合理拱轴线为抛物线47ρNN+dN

例3-13求图示对称三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载q作用下的合理拱轴线。解：本题为非竖向荷载，假定拱处于无弯矩状态，根据平衡条件推求合理拱轴线的方程，为此，从拱中截取一微段为隔离体。由∑MO=0有Nρ-(N+dN)ρ=0式中ρ为微段的曲率半径48由上式得由此可知N=常数ρNN

+dN沿s-s轴写出投影方程有因角极小，故可取于是，上式为因N为常数，荷载q为常数，故=常数表明合理拱轴线是圆弧线49例3-14设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 ,其中qC为拱顶处的载荷集度。qc+.ffxyyy*解由拱截面弯矩计算式由于荷载集度q随拱轴线纵坐标y而变，因此相应简支梁的无法事先写出，为此改用q(x)和y(x)表示：对简支梁来说，而根据图示的坐标系，上式成为50即这一方程所代表的曲线称为列格氏悬链线这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，其一般解可用双曲线函数表示常数A、B可由边界条件确定于是，可得其合理拱轴线的方程为51注意以下问题1三铰拱的合理拱轴线只有对已知的固定荷载才能确定，对于动荷载不能得到真正的合理拱轴线，只能是拱轴相对的合理些，这种情况在工程中经常遇到。2在固定荷载作用下的水平三铰拱的合理拱轴线有以下三种（1）抛物线（2）列格氏悬链线（3）圆弧线52思考题1在相同跨度和竖向荷载作用下，拱趾等高的三铰拱，其水平推力随矢高的减小而减小。（）2三铰拱在竖向荷载作用下，其支座反力与三个铰的位置无关。与拱轴线的形状有关。（）3图示三铰拱的支座反力相同。（）aaaaqaaaa2qa×××534图示拱中AB杆的轴力NAB为5图示三铰拱K右截面的弯矩MK=,受拉。6m4m10kN/m2m2m20kNAB10m5m5m80kN20kNmKACB5m2m4KN190KNm外侧544m4m4m16kNAB3m1m4m16kN4m6图示结构中A、B两截面的弯矩值分别为，侧受拉；，侧受拉。70kNm6kNm内内7图示拱结构的水平反力H为。0.5PPPPRRRHH55§3-5静定平面桁架重点：结点法和截面法计算桁架难点：截面法和结点法的联合运用1平面桁架的计算简图2结点法3截面法4截面法和结点法的联合运用5各式桁架比较本节主要内容561平面桁架的计算简图1.桁架：2.理想桁架（1）各结点都是无摩擦的理想铰。（2）各杆轴都是直线，并在同一平面内且通过铰的中心；（3）荷载及反力只作用在结点上并在桁架平面内。符合上述假设的桁架结构，称为“理想桁架”由若干直杆在杆端通过铰结点联接而成的结构。计算桁架内力时，为了简化计算对实际桁架作如下假设：（4）不计杆件自重，若考虑自重，均分于杆件两端的结点上。57铰58理想桁架主内力：本节只讨论主内力的计算各杆件均为“二力杆”主内力与次内力理想桁架结构中各杆件的内力。次内力：实际桁架结构中各杆件的内力。593.桁架的各部分名称跨度L节间长度d桁高H下弦杆上弦杆腹杆斜杆竖杆高跨比：桁架高度H与其跨度之比。设计桁架结构的一个重要参数。604.桁架的分类（1）按外形分为：a.平行弦桁架b.折弦桁架c.三角形桁架（3）按照竖向荷载是否引起水平反力（推力）分为：a.梁式桁架（无推力桁架）b.拱式桁架（有推力桁架）（4）按几何组成方式分为：

a.简单桁架：由一个铰结三角形依次增加二元体而组成的桁架。

b.联合桁架：由简单桁架按基本组成规则而联合组成的桁架。c.复杂桁架：不属于上述两类的桁架。d.梯形桁架（2）按材料分为：a.木桁架b.钢桁架c.钢木桁架61平行弦桁架62折弦桁架63三角形桁架64梁式桁架65拱式桁架66ABCDE联合桁架672结点法1.求桁架内力的基本方法：2.结点法：结点法和截面法。逐个取桁架的结点为研究对象，根据平衡条件，建立平衡方程，计算杆件内力的方法。

注意：（1）所取结点上未知内力的杆件数目≤2。（2）计算时，一般将杆件的轴力假设为拉力。（3）关于斜杆的计算。在计算中，经常需要把斜杆的内力N分解为水平分力X和竖向分力Y。68XY则由比例关系可知在N、X、Y三者中，任知其一便可求出其余两个，无需使用三角函数。LLxLy⌒NN⌒693例题3-15试用结点法计算图示桁架（1）首先由桁架的整体平衡条件求出支反力。VA=45kNHA=120kNHB=120kN（2）截取各结点解算杆件内力。分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁架，由基本三角形ABC按二元体规则依次装入新结点构成。由最后装入的结点G开始计算。（或由A结点开始）

取结点G隔离体G15kNNGFNGEYGEXGE由∑Y=0可得YGE=15kN（拉）由比例关系求得XGE==20kN(拉)及SGE=15×=25kN(拉)再由∑X=0可得SGF=-XGE=-20kN(压）25-20-20+151520304050+60+600756045-120-45

然后依次取结点F、E、D、C计算。NABCDEFG15kN15kN15kN4m4m4m3mF20kNSFE=+15kN15kNSFC=-20kNE+15kN+20kN+15kNYEC=-30kNXEC=-40kNSED=+60kN到结点B时，只有一个未知力NBA，最后到结点A时，轴力均已求出，故以此二结点的平衡条件进行校核。704.计算中的技巧当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算：(1)改变投影轴的方向AN2N1x由∑X=0可首先求出N1(2)改用力矩式平衡方程由∑MC=0一次求出BCY1X1PrN将力N1在B点分解为X1、Y1NABCdbahP①②715.几种特殊结点及零力杆（1）L形结点当结点上无荷载时:N1=0,N2=0内力为零的杆称为零力杆。N1N2图aL形结点图bT形结点N1N3N2（2）T形结点当结点上无荷载时:N3=072图cX形结点N2N1N3N4（3）X形结点当结点上无荷载时:N1=N2,N3=N4图dK形结点N2N1N3N4（4）K形结点当结点上无荷载时:N1≠N2,N3=－N4736.零杆的判断例2-12判断图示桁架结构中零力杆数目7.几点结论（1）结点法适用于简单桁架，从最后装上的结点开始计算。（2）每次所取结点的未知力不能多于两个。（3）计算前先判断零杆。0000000000000743截面法

1.截面法：

2.截面法据所选方程类型的不同，又分为以下两种方法。

用假想的截面将桁架分成两部分，任取一部分为隔离体（含两个以上的结点），用平衡方程计算所截杆件的内力的方法。注意：一般情况下，所取研究对象上未知内力的杆件数目≤3。（1）力矩法（2）投影法75（1）力矩法设支反力已求出。RARB求EF、ED、CD三杆的内力。作截面Ⅰ-Ⅰ，ⅠⅠ

取左部分为隔离体。

NEFNEDNCD由∑ME=0有RAd－P1d－P2×0－SCDh=0得（拉）（拉）XEF由∑MD=0有RA×2d－P1×2d－P2d+XEFH=0得（压）可以证明：简支桁架在竖向荷载作用下，下弦杆受拉力，上弦杆受压力。addNXEDYED由∑MO=0有－RAa+P1a+P2(a+d)+YED(a+2d)=0YEFRAN76NEFNEDNCDXEFaddNXEDYEDYEFRAN77（2）投影法

求DG杆内力

作Ⅱ—Ⅱ截面，ⅡⅡ取左部分为隔离体。XDGYDG由∑Y=0有RA－P1－P2－P3+YDG=0YDG=NDGsin=－(RA－P1－P2－P3)

上式括号内之值恰等于相应简支梁上DG段的剪力，故此法又称为剪力法。RA78几点结论1用截面法求内力时，一般截断的杆件一次不能多于三个(特殊情况例外)。2对于简单桁架，求全部杆件内力时，应用结点法；若只求个别杆件内力，用截面法。3对于联合桁架，先用截面法将联合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架进行分析(见图)。79ABCDEⅠⅠ804截面法和结点法的联合应用

结点法与截面法各有所长，据具体情况选用。有些情况下，截面法和结点法联合使用，更为方便。举例说明。例2-16求桁架中a杆和b杆的内力。解：（1）求a杆的内力作Ⅰ－Ⅰ截面，abⅠⅠ并取左部为隔离体，有四个未知力尚不能求解。为此，可取其它隔离体，求出其一或其中两个之间的关系。取K点为隔离体KNaNc有cNa=－Nc或Ya=－Yc再由Ⅰ－Ⅰ截面据∑Y=0有3P－－P－P+Ya－Yc=0即+2Ya=0Ya=－由比例关系得Na=－（压）Na求得后，再由∑MC=0即可求得Nb(略）。3P3PYaYc811、图示桁架结构的零杆数目是：（A）0（B）2（C）4（D）6（D）练习题822、图示桁架结构1杆的轴力一定为：（A）拉力（B）压力（C）0（D）需要给出内部三个铰的位置才能确定具体受力性质（C）833、图示桁架结构的零杆数目是：（A）4（B）5（C）6（D）7（D）844、试求图示桁架结构1杆和2杆的内力参考答案：

855、试求图示桁架结构1杆、2杆和3杆的内力P1.5aaaa1.5a123参考答案：

866、试求图示桁架结构1杆、2杆和3杆的内力Paaaa1a23aaP87平面桁架结构杆件内力的其它解法：1图解法2通路法和代替杆（自学）（1）通路法的要点：先选取一杆的轴力为初参数S,然后按照适当的路线求其它杆件的未知力，并将它们都表示为初参数S的函数，最后得到只含一个未知量S的闭合方程，从而求出初参数S。通路法重要的是沿通路计算时能够得到一个闭合方程。实际上，通路法不一定全采用结点法，通路法不一定是由相邻结点连成的闭合路线。（2）代替杆法：利用简单桁架上代替杆轴力为零的条件可以确定复杂桁架上被代替杆的轴力（当被代替杆件为支座链杆时，可确定此支座反力）。885各式桁架比较

不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下面就常用的三种桁架加以比较。

1.平行弦桁架

3.抛物线形桁架

2.三角形桁架891.平行弦桁架90M图FS

图91上下弦杆以轴力的形式承担相应简支梁的弯矩；腹杆承担简支梁的剪力（1）、弦杆内力内力分布不均匀：中间弦杆的轴力大，两端弦杆的轴力小，且上弦杆受压，下弦杆受拉。（2）、腹杆内力斜腹杆竖杆内力分布不均匀：中间杆件的轴力小，两端杆件的轴力大。应用：该桁架便于标准化，因制作施工较为方便，在铁路桥梁中较多采用。922.三角形桁架93（1）、弦杆内力内力分布不均匀：中间弦杆的轴力小，两端弦杆的轴力大。（2）、腹杆内力内力分布不均匀：中间杆件的轴力大，两端杆件的轴力小。r：弦杆至其力矩点的力臂。三角形桁架各杆轴力与平行弦桁架各杆轴力相反。应用：该桁架的两斜面符合屋顶要求，在屋架中常采用。该桁架在端结点处夹角甚小，构造布置较为困难。943.抛物线形桁架95（1）、弦杆内力下弦杆的内力相等，由于下弦杆的内力与上弦杆水平分力的大小相等，从而各上弦杆的内力也近似于相等。（2）、腹杆内力斜杆内力为零，竖杆均等于相应下弦结点上的荷载。4.梯形桁架介于平行弦桁架和三角形桁架之间的一种形式。上下弦杆的内力变化不大，腹杆内力由两端向中间递减。应用：大跨度桥梁(100—150m)及大跨度屋架(18-30m)中常采用。

该桁架的缺点:在上弦杆的每一结点处均转折而须设置接头，故构造较复杂。该桁架的优点:内力分布均匀，节约材料的意义较大。96§3－6组合结构计算1.组合结构：2.组合结构的计算步骤：（1）求支座反力（2）计算各链杆的轴力（3）分析受弯杆件的内力

由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合组成的结构。97例3-17

分析图示组合结构的内力。解：1.由整体平衡条件求出支反力。

2.求各链杆的内力：作Ⅰ－Ⅰ截面

拆开C铰和截断DE杆，取右部为隔离体。由∑MC=0有3×8－NDE×2=0NDE=12kN(拉）再考虑结点D、E的平衡可求出各链杆的内力。2YCXCNDE12613·4+12-612VA=5kNRB=3kNⅠⅠHA=01-613·4126+12983.分析受弯杆件取AC杆为隔离体，AC5kN12kN6kNF6kNXCYC考虑其平衡可求得：XC=12kN←YC=3kN↑并可作出弯矩图。=12kN=3kN8kNM图（kN·m)461200ABC1kN6kN8kN3kN6kN099例3-18作图示结构的M图，并求二力杆AD的轴力NAD=99kN100例3-19图示结构的轴力NHI=,弯矩MEG=

，受拉，MDF=。FCE4mA2m2m2m2m2mBDGHI100kN200kNm100kN右侧0101例3-20求解图示结构102思考题：1静定结构，当改变结构中各杆的刚度EI时，结构内力将发生变化。（）4叠加原理用于求解静定结构时，需满足的条件（）。A位移微小，且材料是线弹性的B位移微小C应变是微小的D材料是理想弹性的2对静定结构内力计算时，可不考虑结构的变形条件。（）3静定结构受外界因素影响时均产生内力，大小与杆件截面尺寸无关。（）5静定结构有温度变化时，以下正确的是（）。A无变形，无位移，无内力B有变形，有位移，有内力C有变形，有位移，无内力

D无变形，有位移，无内力

×√×AC103§3—7静定结构的特性1.静力解答的唯一特性。只有静定结构，其所有约束反力与内力可由平衡条件确定，在任何给定荷载下，满足平衡条件的反力和内力的解答只有一种，且为有限定值。这是静定结构的基本静力特性。静定结构与超静定结构都是几何不变体系，二者之间的差别为：（1）几何构造方面：静定结构无多余约束；超静定结构有多余约束。（2）静力平衡方面：静定结构的内力、约束力均可由平衡条件完全确定，得到的解答只有一种；超静定结构的内力、约束力由平衡条件不能完全确定，而需要同时考虑变形条件后才能得到解答。1042.静定结构局部平衡特性当平衡力组成的荷载作用于静定结构的某一局部几何不变部分上时，则只有此部分受力，其余部分的反力和内力均为零。3.在静定结构中，除荷载因素外，其它任何非荷载因素（温度变化、支座移动、制造误差等）均不引起内力。1054.静定结构的荷载等效变换特性当作用在静定结构的某一内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，只有该部分的内力发生变化，而其余部分的内力保持不变。P等效荷载是指分布不同但合力彼此相等的荷载。1065.静定结构的构造变换特性当静定结构的某一内部几何不变部分作构造变换时，只有该部分的内力发生变化，其余部分的内力保持不变。P为了避免桁架杆件在非结点荷载作用下承受弯曲，可用一个或几个几何不变的小桁架来代替简单桁架中的一根或几根杆件，从而使承重弦节间的数目增多，节间长度缩短，这样形成的桁架常称为再分桁架。107对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目=方程中所含的未知力的数目。为了避免解联立方程应按一定的顺序截取单元，尽量使一个方程中只含一个未知量。qa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaABCDEFABC↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓CDDEFYAXAYCXCXCYCXDYDYDXDYBYFYE

§3－8静定结构总论本节综合讨论静定结构的几个问题，作为本章总结。一静定结构的受力分析的方法受力分析应注意以下问题1081、单元的形式及未知力结点：杆件：杆件体系：桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时取结点为单元。多跨静定梁的计算、刚架计算中已知M求Q时取杆件为单元。桁架的截面法取杆件体系为单元。未知力的数目是由所截断的约束的性质决定的。截断链杆只有未知轴力；

在平面结构中，截断梁式杆，未知力有轴力、剪力和弯矩；

在铰处截断，有水平和竖向未知力。

1092、单元平衡方程的数目单元平衡方程的数目=

单元的自由度数，

不一定等于单元上的未知力的数目3、计算的简化a)选择恰当的平衡方程，尽量使一个方程中只含一个未知量;b)根据结构的内力分布规律来简化计算;①在桁架计算中先找出零杆,常可使简化计算;②对称结构在对称荷载作用下,内力和反力也是对称的;③对称结构在反对称荷载作用下,内力和反力也是反对称的;c)分析几何组成,合理地选择截取单元的次序;①主从结构,先算附属部分,后算基本部分;②简单桁架,按去除二元体的次序截取结点;③联合桁架,先用截面法求出连接杆的轴力,再计算其它杆。110aBYaXaPYNaa3525-==32PYa-=dYdPMaA032=×+×=åAEPNa3d3dAEBCPPP3d

111aⅠⅠB3d3dAEBCYaXaPYNaa3525-==32PYa-=dYdPMaA032=×+×=åACEPNaPPbⅡⅡ返回4

112PAaaPPa/2Pa/2aamm00

113一、几种典型结构：梁、刚架、拱、桁架、组合结构。二、{无推力结构：梁、梁式桁架有推力结构：三铰拱、三铰刚架、拱式桁架、组合结构三、杆件{链杆弯杆组成桁架组成梁、刚架组合结构为达到物尽其用，尽量减小杆件中的弯矩。①在静定多跨梁中，利用杆端负弯矩可减小跨中正弯矩；②在推力结构中，利用水平推力可减小弯矩峰值；③在桁架中，利用杆件的铰结及荷载的结点传递，使各杆处于无弯矩状态；三铰拱采用合理拱轴线可处于无弯矩状态。链杆只有轴力，无弯矩，截面上正应力均布，充分利用了材料的强度。弯杆有弯矩，截面上正应力不均布，没有充分利用材料强度。二各种结构形式的受力特点114↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

ql2/80.207l0.207l0.207lql2/48ql2/48fql2/32ql2/48ff/6ql2/48无弯矩状态↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓7f/125f/12l/4l/4l/4l/4ql2/192ql2/192无弯矩状态简支梁M最大(使用于小跨度结构)；伸臂梁、多跨静定梁、三铰刚架、组合结构M次之(使用于较大跨度结构)；桁架、具有合理轴线的三铰拱M为零(使用于大跨度结构)。1150.50.51111110.50.511110.50.511111梁式桁架的受力特点：弦杆轴力:N=±M0/r,上弦压,上弦拉。1、平行弦桁架：r=h=常数，弦杆内力两端小，中间大；腹杆内力：Y=±Q0，两端大，中间小。斜杆拉，竖杆压。2、三角形桁架：r自跨