材料力学第7章

第七章应力和应变分析强度理论

7-1应力状态的概念

7-3二向应力状态分析-解析法

7-4二向应力状态分析-图解法

7-5三向应力状态7-8广义胡克定律

7-11四种常用强度理论第七章应力和应变分析

强度理论低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁问题的提出7—1应力状态的概念目录脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—1应力状态的概念目录FNσF①同一截面上不同点的应力——拉伸①同一截面上不同点的应力TOτmaxτρρ①同一截面上不同点的应力——扭转τmax①同一截面上不同点的应力

直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。7—1应力状态的概念

直杆拉伸{过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明点的应力状态的概念研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最危险应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。一点的应力状态的描述研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析各边边长,,dxdydz在单元体各面上标上应力——

应力单元体

补例

已知构件如图。试取表面A点的单元体，并表明各面的应力。AF2F2F

l/3

l/3

l/3

dAxzyA

σ

σxzyA

σ

σ单向应力状态（一个不为0的主应力）

补例,

已知构件如图d=80mm。试取A点的单元体，并表明各面的应力。M1=12kN·mDCA

a/22aM3=8kN·mM2=4kN·m

a/2

dABxzyAττ二向应力状态（两个不为0的主应力）Fl/2l/2S平面7—1应力状态的概念S平面543211232t1.斜截面上的应力dAαnt

7-3二向应力状态分析-解析法目录xy列平衡方程dAαnt目录

7-3二向应力状态分析-解析法利用三角函数公式并注意到化简得目录

7-3二向应力状态分析-解析法2.正负号规则正应力：拉为正；压为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx目录

7-3二向应力状态分析-解析法xy确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零目录

7-3二向应力状态分析-解析法由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3目录

7-3二向应力状态分析-解析法试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知目录

7-3二向应力状态分析-解析法解：（1）斜面上的应力目录

7-3二向应力状态分析-解析法（2）主应力、主平面目录

7-3二向应力状态分析-解析法主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：目录

7-3二向应力状态分析-解析法（3）主应力单元体：目录

7-3二向应力状态分析-解析法应力状态与强度理论例3

分析圆轴扭转时的应力状态。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力txyCtyxMCxy铸铁圆轴扭转破坏现象分析应力状态与强度理论xy

这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆

7-4二向应力状态分析-图解法目录2.应力圆的画法D(sx,txy)D/(sy,tyx)cRxy目录

7-4二向应力状态分析-图解法点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力3、几个对应关系D(sx,txy)D’(sy,tyx)cxyHnH转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式其中，为应力圆圆心的横座标，为应力圆的半径。故得第七章应力状态和强度理论第七章应力状态和强度理论或即图c示出了主应力和主平面的方位。sxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºs1＝ts3＝tBEs3＝ts1＝tBE主应力单元体D’例：求1）图示单元体α=300斜截面上的应力

2）主应力、主平面（单位：MPa）。60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆Hn1．任意斜截面上应力§7-5三向应力状态2．主应力sataotmax弹性理论证明，单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着应力圆上或阴影区内的一点。1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律

7-8广义胡克定律目录1、单拉下的应力---应变关系xyz

x2、纯剪的应力---应变关系xyz

x

y§7-8广义虎克定律3、复杂状态下的应力---应变关系xyzxxyzy条件：各向同性材料，弹性范围内，线弹性材料，小变形。1）在复杂应力状态下，应变分量可由各应力分量引起的应变分量叠加得到。2）正应变只与正应力有关，剪应变只与剪应力有关，线变形与角变形的相互影响可以略去。123主应力---主应变关系4、平面状态下的应力---应变关系:补例:已知单元体如图。试求±45o方向的ε±450

τ

x’

45o

-45o

解：xτ

x’

45o

-45o

σ3=τ

σ1=τy

σx=－τ，σy=τ,σz=0§7－9复杂应力状态下的应变能密度应力状态与强度理论根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对面上的力在由各自对应应变所产生的位移上所做的功，全部转变为一种能量，储存于微元内。这种能量称为弹性应变能，简称应变能，用dVε表示。dV表示微元的体积，则dVε

/dV为应变能密度

xyzszsysx23

1应力状态与强度理论三向应力状态下，总应变能密度表达式应力状态与强度理论23

1图am图b图

cmm

1-m2-m

-m3—体积改变能密度—畸变能密度物体变形时，包含了体积改变与形状改变。总应变能密度包含相互独立的两个部分三向等拉应力状态，只有体积改变只有形状改变应力状态与强度理论则畸变能密度：代入将xyＡ13例：用能量法证明三个弹性常数间的关系。、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）杆件基本变形下的强度条件7-11四种常用强度理论目录满足是否强度就没有问题了？目录7-11四种常用强度理论强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。

为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。目录7-11四种常用强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式

(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论

(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论目录7-11四种常用强度理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）－构件危险点的最大拉应力－极限拉应力，由单拉实验测得目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。断裂条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转目录7-11四种常用强度理论简单拉伸破坏试验得到最大拉应力脆断准则：相应的强度条件：适用范围：虽然只突出而未考虑的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。特别适用于拉伸型应力状态（如），混合型应力状态中拉应力占优者（但）。2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。－构件危险点的最大伸长线应变－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得目录7-11四种常用强度理论实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件即目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。3.最大切应力理论（第三强度理论）－构件危险点的最大切应力－极限切应力，由单向拉伸实验测得目录7-11四种常用强度理论屈服条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转目录7-11四种常用强度理论实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。最大切应力理论（第三强度理论）目录7-11四种常用强度理论适用范围：虽然只考虑了最大剪应力，而未考虑其它两个剪应力的影响，但与低碳钢、铜、软铝等塑性较好材料的屈服试验结果符合较好；并可用于像硬铝那样塑性变形较小，无颈缩材料的剪切破坏，无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。4.形状改变比能理论（第四强度理论）－构件危险点的形状改变比能－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得目录7-11四种常用强度理论屈服条件强度条件形状改变比能理论（第四强度理论）实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。目录7-11四种常用强度理论强度理论的统一表达式：相当应力目录7-11四种常用强度理论例试写出扭转轴四个强度理论的强度条件。mm解：7-11四种常用强度理论例题已知：和。试写出最大切应力准则和形状改变比能准则的表达式。解：首先确定主应力{强度理论的选择

一般情况下，我们是根据材料选择相应的强度条件的。处于复杂应力状态并在常温和静载条件下的脆性材料，多发生断裂破坏，通常采用第一强度理论。塑性材料多发生屈服破坏，应该采用第三强度理论或第四强度理论。前者表达式比较简单，后者用于设计可得较为经济的截面尺寸。也要注意少数特殊情况下，还须按可能发生的破坏形式和应力状态，来选择适宜的强度理论，对构件进行强度计算。例如，在低温或三向拉伸应力状态情况下，不论是脆性还是塑性材料，都应采用最大拉应力理论；在三向压缩应力状态情况下，不论是塑性材料还是脆性材料，都应该采用第三或第四强度理论。四、强度理论的应用（一）强度计算的步骤：1、外力分析：确定全部的外力。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危险截面应力分布图，确定危险点并画出其单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。应力状态与强度理论（二）强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论（大多数情况选用）；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如拉压，扭转：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。其它应力状态时，使用第三或第四理论（大多数情况选用）

。应力状态与强度理论解：危险点A的应力状态如图：例6

直径为d=0.1m的铸铁圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,[]=40MPa,

试用第一强度理论校核杆的强度。故，安全。PPTTAA

应力状态与强度理论例7薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。解：由广义虎克定律得:AsxsyxyA所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。应力状态与强度理论已知：[σ]=140MPa,[τ]=90MPa试设计工字梁。例8Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD（1）求内力，作内力图。解：查表知，可选No.32a工字钢,Wz=692.2cm3,d=9.5mm（3）用剪应力强度条件校核xFS200KN200KN（2）由正应力条件求Wz（4）再对翼缘和腹板的交界处的复杂应力状态进行校核。

故应增加钢号，可选No.32c工字钢,Wz=761cm3,这时，交界处σ=100MPa，τ=37.32MPa，σr3=124.8MPa<[σ],满足强度。已知：[σ]=140MPa,[τ]=90MPa试设计工字梁。例9Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD解：xFS200KN200KN§7-12莫尔强度理论1．不同于四个经典强度理论，莫尔理论不致力于寻找（假设）引起材料失效的共同力学原因，而致力于尽可能地多占有不同应力状态下材料失效的试验资料，用宏观唯象的处理方法力图建立对该材料普遍适用（不同应力状态）的失效条件。2．自相似应力圆与材料的极限包络线

自相似应力圆：如果一点应力状态中所有应力分量随各个外载荷增加成同一比例同步增加，则表现为最大应力圆自相似地扩大。材料的极限包络线：随着外载荷成比例增加，应力圆自相似地扩大，到达该材料出现塑性屈服或脆性断裂时的极限应力圆。只要试验技术许可，务求得到尽可能多的对应不同应力状态的极限应力圆，这些应力圆的包络线即该材料的极限（状态）包络线。3．对拉伸与压缩极限应力圆所作的公切线是相应材料实际包络线的良好近似（图b）。实际载荷作用下的应力圆落在此公切线之内，则材料不会失效，到达此公切线即失效。由图示几何关系可推得莫尔强度失效准则。或4．适用范围：1）适用于从拉伸型到压缩型应力状态的广阔范围，可以描述从脆性断裂向塑性屈服失效形式过渡（或反之）的多种失效形态，例如“脆性材料”在压缩型或压应力占优的混合型应力状态下呈剪切破坏的失效形式。2）特别适用于抗拉与抗压强度不等的材料。3）在新材料（如新型复合材料）不断涌现的今天，莫尔理论从宏观角度归纳大量失效数据与资料的唯象处理方法仍具有广阔应用前景。§7-13构件含裂纹时的断裂准则1．概述随着现代技术与工业的发展，新材料、新工艺，大型结构与构件的出现和工作环境的苛刻化，构件中隐含宏观裂纹或由微观裂纹成长为宏观裂纹的机会大大增加，宏观裂纹发展到了临