结构力学 09 力矩分配法

第9章力矩分配法教学目标理解力矩分配法的基本原理掌握应用力矩分配法求解连续梁和无线位移刚架的杆端弯矩并作弯矩图了解超静定结构的特性Contents目录力矩分配法的基本概念1多结点的力矩分配法3单结点的力矩分配法2超静定结构特性4力矩分配法的基本概念§9.1前两章介绍了计算超静定结构的两种基本方法：力法和位移法。用力法和位移法计算超静定结构都要建立和求解联立方程，当未知量数目较多时，这项计算工作将十分繁重。为了避免求联立方程，寻求更适合手算的方法，人们提出了许多方法，如力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等。这些方法都属于位移法类型的渐近解法。限于篇幅，本章仅介绍力矩分配法。力矩分配法的理论基础是位移法，它是直接以杆端弯矩为计算对象的一种渐进解法。其特点是在计算过程中无需建立和求解方程，而是以逐次渐进的方式来计算杆端弯矩；计算结果的精确度随计算轮次的增加而提高；每轮的计算都是按照同样的步骤重复进行。相对力法和位移法，其计算过程较为直观。力矩分配法适用于求解无结点线位移的超静定梁及刚架。在力矩分配法中，内力正负号的规定和位移法的规定一致。力矩分配法的基本概念§9.11.转动刚度S转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。为了使杆AB某一端（例如A端）转动单位转角，在A端所加的力矩称为AB杆A端的转动刚度，以SAB表示。其中产生转角的一端（A端）称为近端，另一端称为远端。对于等截面杆，转动刚度可以根据表9-1查得，如图9.1所示。远端支撑情况转动刚度S传递系数C固定SAB=4i1/2铰支SAB=3i0滑动SAB=i-1自由SAB=0无意义表9-1等截面直杆的转动刚度和传递系数力矩分配法的基本概念§9.12.传递系数传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值，用符号C表示。对等截面直杆来说，传递系数C由远端支承情况决定，如图9.2所示。其数值分别为：远端固定端：c=1/2；远端铰支座：C=0；远端滑动支座：C＝－1。（a）

（b）

（c）图9.2力矩分配法的基本概念§9.13.分配系数通过实例说明分配系数的概念。如图9.3（a）所示，在结点1上作用有一力偶M，使结点1产生转角为θ，然后达到平衡。试求各杆近端（转动端）和远端（另端）的杆端弯矩。（a）

（b）

（c）图9.3单结点的力矩分配法§9.2单结点的力矩分配法单结点的力矩分配法§9.2【例9-1】如图9.5(a)所示为两跨连续梁，试用力矩分配法求杆端弯矩，并作M图。分配系数

固端（A）0.6670.333

铰支(C)固端弯矩MF-4.004.00-4.50

0分配与传递0.17←———

+0.33+0.17

—————————→

0最后弯矩M-3.83

4.33-4.33

0多结点的力矩分配法§9.3多节点的力矩分配法

多结点时仍考虑先固定结点，求出不平衡力矩；再逐个结点放松，从不平衡力矩最大的结点开始，依次分配、传递，直至传递弯矩趋近于零；叠加各杆端的固端弯矩和分配或传递弯矩的最终杆端弯矩。计算步骤：固定刚结点，求固端弯矩和不平衡力矩；计算分配、传递系数；逐个结点进行反号不平衡力矩的分配与传递；叠加求最终杆端弯矩；绘内力图。多结点的力矩分配法§9.3【例9-2】用力矩分配法计算图9.6（a）所示两结点多跨超静定梁，画出梁的弯矩图。【解】（1）固定结点。固定结点B和C，计算各杆的固端弯矩。（2）计算B、C结点上的不平衡力矩。（3）计算分配系数。分别计算相交于结点B和结点C的各杆杆端的分配系数。（4）放松结点，计算分配弯矩和传递弯矩，填入计算表中，如图9.6（b）所示。（5）停止分配、传递计算后，将杆端所有固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩（即表中同一列的弯矩值）代数相加，得到杆端最终弯矩，如图18.15（b）所示。（6）绘制梁的弯矩图，如图9.6（c）所示。多结点的力矩分配法§9.3【例9-3】用力矩分配法计算图9.7（a）所示超静定刚架，画出刚架的弯矩图。【解】（1）计算杆端分配系数（2）计算固端弯矩、分配弯矩及传递弯矩（3）绘制弯矩图如图9.7（d）所示。多结点的力矩分配法§9.3多结点的力矩分配法§9.3超静定结构的特性§9.4超静定结构的特性与静定结构比较，超静定结构具有以下一些重要特性。1.静定结构的内力只用静力平衡条件即可确定,其值与结构的材料性质以及杆件截面尺寸无关。超静定结构的内力单由静力平衡条件则不能全部确定,还需同时考虑位移条件。所以，超静定结构的内力与结构的材料性质以及杆件截面尺寸有关。2.在静定结构中，除了荷载作用以外,其他因素如支座移动、温度改变、制造误差等，都不会引起内力。在超静定结构中,任何上述因素作用,通常都能引起内力。这是由于上述原因都将引起结构变形,而此种变形由于受到结构多余约束的限制，因而使结构中产生内力。超静定结构的特性§9.43.静定结构在任一约束遭到破坏后,即丧失几何不变性,因而就不再承受荷载。而超静定结构由于具有多余约束,在多余约束遭到破坏后,仍能保持其几何不变性，因而还具有一定的承载能力。4.局部荷载作用对超静定结构比对静定结构影响的范围大。例如图9-8a)所示连续梁，当中跨受荷载作用时，两边跨不仅发生弯曲变形，且产生内力。而图9-8b)所示多跨静定梁，受同样荷载作用时，两边跨只随着转动，但不产生内力。因此,超静定结构比静定结构的内力分布要均匀些。小结力矩分配法是建立在位移法基础上的一种数值逼近法，不需要求解未知量。对于单结点结构，计算结果是精确结果；对于两个及以上结点的结构，力矩分配法是一种近似计算方法，但其误差是收敛的，即是可以循环计算直至误差在允许范围内。