半导体物理及器件

第二章量子力学初步

关于经典理论的“危机”和它的维护者所持的态度，有一个事例，被人们作为典型经常引证，这就是开尔文的“两朵乌云”。开尔文在19世纪后半叶，对经典物理学作过许多贡献。1900年，这时他已76岁了，是一位德高望重的物理学界老前辈。这一年4月27日，他在英国皇家研究所（RoyalInstitution）发表了一篇讲演①，题为：《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》，开头的一段话是这样说的：

“动力学理论断言热和光都是运动的方式，现在这一理论的优美性和明晰性被两朵乌云遮蔽得黯然失色了。第一朵乌云是随着光的波动论而开始出现的。菲涅耳和托马斯·杨研究过这个理论，它包括这样一个问题：为什么地球能够穿过本质上是光以太这样的弹性固体而运动呢？”

开尔文回顾了以太的各种学说，并阐述了自己的看法。他认为菲涅耳和托马斯·杨的学说不能完满解释与以太有关的各种现象，物体在以太中，必然跟以太有相互作用。“如果把以太看成是可伸可缩的固体，就不难回答这一问题。我们只要假设原子对以太会产生力，靠这个力的作用，在原子占据的空间（以太）被浓缩和稀释。”他肯定了费兹杰惹和洛仑兹的收缩假说，认为已经摆脱了困境，迈克耳逊莫雷实验的“结果不能否定以太通过地球所占空间的自由运动。”

不过，开尔文并不因此而表示乐观，他宣称：“恐怕我们还必须把第一朵乌云，看成是很稠密的。”第二章量子力学初步

接着，开尔文以大量篇幅讨论第二朵乌云，这是指的能量均分原理遇到了麻烦。他认为这朵乌云应该驱散，二十多年来，麦克斯韦、玻尔兹曼、瑞利等人总希望维护能量均分原理，“避免破坏普遍结论的简单性。”但是实际上不可能有这种简单性。开尔文提到他自己就在十年前向能量均分原理提出过质疑。经过一番论证之后，开尔文宣称：“要达到所需结果，最简单的途径就是否定这一结论，这样就可以在20世纪开始之际，使这朵乌云消失。”

有人说，开尔文关于两朵乌云的演讲预见到物理学正酝酿着一场伟大的革命。这种说法恐怕不大符合事实，但是他这篇演讲确实反映了当时物理学家的普遍情绪，认为物理学正处于危机之中。

其实，物理学面临的不是危机，而是一场伟大的革命。实验上一系列新发现，跟经典物理学的理论体系产生了尖锐的矛盾，暴露了经典物理理论中的隐患，指出了经典物理学的局限性。物理学只有从观念上、从基本假设上、以及从理论体系上来一番彻底的变革，才能适应新的形势。

由于这些变革，物理学面临大发展的局面，请看：(1)电子的发现，打破了原子不可分的传统观念，开辟了原子物理学的崭新领域；(2)放射性的发现，导致了放射学的研究，为原子核物理学作好必要的准备；(3)以太漂移的探索，使以太理论处于重重矛盾之中，为从根本上抛开以太存在的假设、创立狭义相对论提供了重要依据；(4)黑体辐射的研究导致了普朗克黑体辐射定律，由此提出了量子假说，为量子理论的建立打响了第一炮。

总之，在世纪之交的年代里，物理学处于新旧交替的阶段。所谓新旧交替，并不是指旧的经典物理学完全被新的物理学取代，而是指物理学在原有的基础上扩展，从低速宏观的领域扩展到高速和微观的领域。对于低速宏观的领域，经典物理学仍然是有效的。第二章量子力学初步

2.1量子力学的基本原理(PrinciplesofQuantumMechanics)

能量量子化原理波粒二相性原理不确定原理

2.1量子力学的基本原理能量量子化(EnergyQuanta)经典物理学只要光的强度足够大，电子就可以克服材料的功函数从表面发射出去，而该过程与照射光的频率无关；光电效应实验在恒定光强的照射下，光电子的最大动能随着光频率呈线性变化；低于某极限频率将不会产生光电子。2.1量子力学的基本原理能量量子化(EnergyQuanta)1900年Planck提出了加热物体表面发出的热辐射是不连续的假设，即量子；E=hn1905年Einstein提出了光波也是由分立的粒子组成的假设；这种粒子化的能量叫光子，E=hn光电子的最大动能Tmax=1/2*mu2=hn–hn0(n>n0)2.1量子力学的基本原理波粒二相性(Wave-ParticleDuality)1924年deBroglie提出了存在物质波的假设；光子的动量:P=h/l德布罗意波长:l=h/p1927年DavissonandGermer实验2.1量子力学的基本原理不确定原理(TheUncertaintyPrinciple)1927年Heisenberg不确定原理;共轭变量:粒子的坐标与动量、能量与时间；不确定关系式：既然不确定原理的一个结论是无法确定一个电子的准确坐标，我们就将其替代为确定某个坐标位置可能发现电子的概率；概率密度函数ΔpΔx≥h/2π

ΔEΔt≥h/2π

2.2薛定谔波动方程(Schrodinger’sWaveEquation)一维非相对论的薛定谔波动方程为波函数，V(x)为与时间无关的势函数，m是粒子的质量

＝

2.2薛定谔波动方程左边只是坐标x的函数，右边只是时间t的函数；引入分离变量常数其中E=hn=h/22.2薛定谔波动方程与时间无关的项

分离常量是粒子的总能量E，m为粒子的质量，V（x）为粒子所在的势场。2.2薛定谔波动方程1926年MaxBorn假设是某一时刻在x与x+dx之间发现粒子的概率；为概率密度函数；2.2.2波函数的物理意义

波函数用来描述晶体中的电子状态，整个波函数是与坐标有关的函数和与时间有关的函数的乘积。与时间无关的概率密度函数2.2薛定谔波动方程2.2.3边界条件

由于代表概率密度函数，因此，对单个粒子来说必须满足：

如果粒子的能量E和势函数V(x)在任何位置均为有限值，则要求波函数及其导数符合以下条件：条件1必须有限、单值和连续；条件2必须有限、单值和连续；

2.3薛定谔波动方程的应用如果没有任何外力作用于粒子，则势函数V(x)为常量，且E>V(x)；假定V(x)＝02.3.1自由空间中的电子（ElectroninFreeSpace）微分方程的解：

2.3薛定谔波动方程的应用2.3.1自由空间中的电子整个波动方程的解是：该解是一个行波，即自由空间中的粒子运动表现为行波。其中系数为A的第一项是方向为+x的波，而系数为B的第二项是方向为-x的波。系数的值可由边界条件确定。2.3薛定谔波动方程的应用2.3.1自由空间中的电子假设某一时刻，有一个沿+x方向运动的粒子，可以描述为+x方向的行波，而系数B=0。该行波的表达式可写为：其中k为波数，即：k=2π/λ其中在一定区域的自由粒子可以用一个波包表示，波包由若干不同动量或不同k值的波函数叠加而成。2.3.2无限深势阱（TheInfinitePotentialWell）无限深势阱中的粒子问题是束缚态粒子的典型例子.假设粒子存在于区域Ⅱ中，则粒子被局限在有限的区域内。如果E有限，则在区域Ⅰ和区域Ⅲ中波函数必须为零或

因为粒子不可能穿越无限深势垒，所以在区域Ⅰ和区域Ⅲ中发现粒子的概率为零。2.3.2无限深势阱在区域Ⅱ中，V=0,与时间无关的薛定谔波动方程为：方程的解可以写出：2.3.2无限深势阱由连续性边界条件在x=0处，有A1=0。在x=a处该方程式当Ka=np时成立，其中参数n为正整数，即n=1，2，3，…。参数n称为量子数。

K=np/a由归一化边界条件n=1，2，3，…2.3.3阶跃势函数假设有粒子流射入到阶跃势垒上，粒子流的运动方向为+x，起始点在x=-∞处。在区域Ⅰ,V=0,(x≤0)2.3.3阶跃势函数在区域Ⅱ中，V=V0。假设E﹤V0

(x≥0)2.3.3阶跃势函数边界条件为波函数必须保持有限，即系数B2=0(x≥0)A1+B1=A2波函数一阶导数连续2.3.3阶跃势函数反射的概率密度函数为定义一个反射系数R作为反射流相对于入射流的比率在区域Ⅰ,R=1表明E﹤V0的粒子流入射到势垒上将全部被反射回来，粒子不会被吸收或穿过势垒。在区域Ⅱ中，在E﹤V0的情况下，系数A2不为零，因此，在区域Ⅱ中发现粒子的概率密度函数也不等于零。表明入射粒子有一定的概率会穿过势垒到达区域Ⅱ中。2.3.4矩形势垒2.3.4矩