分组分解法分解因式

§8．3分组分解法

1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义．2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理的分组方案．3．能综合运用各种方法完成因式分解．一、学习目标本节的重点：运用分组分解法分解因式．

本节的难点：筛选合理的分组方案和综合

运用各种方法完成因式分解．二、重点难点很多多项式不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，就可以先在局部上，进而在整体上运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．所以，“分组”的作用在于促进了提公因式法和公式法的运用，使多项式从不能分解向能分解转化．三、引入例1

把多项式分解因式．四．新课【分析】这是一个四项式，它的各项没有公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用这些基本方法都无法直接达到分解的目的．但是，如果分组后在局部分别分解，就可以创造整体分解的机会．

例1

把多项式分解因式．【解法一】＝＝＝＝＝＝【解法二】四．新课(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y(2)mx＋mx2－n－nx

例2

分解因式：【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y)＝a2(x＋y)＋b2(x＋y)

＝(x＋y)(a2＋b2)【解】mx＋mx2－n－nx

＝(mx＋mx2)－(n＋nx)

＝mx(1＋x)－n(1＋x)

＝(1＋x)(mx－n)四．新课【点评】(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性；(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单；(3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的括号时，括号内每项的符号都要改变；

(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y(2)mx＋mx2－n－nx

四．新课例2

分解因式：【解】＝＝＝＝例3

把多项式分解因式．【分析】观察多项式，前两项有公因式，后三项符合完全平方公式．四．新课【解法一】a3－a2b－ab2＋b3＝(a3－a2b)－(ab2－b3)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)【解法二】a3－a2b－ab2＋b3＝(a3－ab2)－(a2b－b3)＝a(a2－b2)－b(a2－b2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)四．新课例4

分解因式a3－a2b－ab2＋b3．注意，分解的结果中，如果有相同的因式，要写成乘方的形式．本题的结果不要写成(a－b)(a－b)(a＋b)．【分析】为了确定p与q的值，可以从分解常数项入手．由于1×91＝91，13×7＝91，所以乘积为－91的两个数可以有

1×(－91)，(－1)×91，13×(－7)，(－13)×7

四种可能．其中只有(－13)×7一组能使得

(－13)＋7＝－6(一次项的系数)，所以确定的两个数是－13和7，于是分解结果可以写为例5

分解二次三项式四．新课例6

分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21

四．新课【分析】本题应该把(a＋2b)2看成二次项，－10(a＋2b)看成一次项，－10看成一次项的系数，21看成常数项，从而可以用十字相乘法．【解】(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21a＋2b－3)(a＋2b－7)＝(a＋2b－3

a＋2b－7例7

分解因式(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3．【解】(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1)＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2．四．新课【点评】本题要注意分解到每一个因式都不能再分解为止．1．练习把下列各式分解因式：

2．3．练习把下列各式分解因式：

4．5．6．练习把下列各式分解因式：

8．7．9．2x2－4x－6

2(x＋1)(x－3)练习把下列各式分解因式：

10．11．12．－m2－m＋6

－(m－2)(m＋3)13．14．练习把下列各式分解因式：

15．3x2＋11x＋10

3x2＋11x＋10

练习把下列各式分解因式：

16．17．18．a4－50a2＋625

练习把下列各式分解因式：

(a＋5)2(a－5)2

19．16x4－72x2＋81

(2x＋3)2(2x－3)2

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