同济大学信号及系统第九章第3讲2-dft

一、有限长序列Z变换的抽样若有限长序列x(n)的长度为N，其Z变换的表示式为：若有限长序列满足绝对可和条件，则其收敛域包括单位圆在内，在单位圆上N个等间距点计算Z变换，令：§9-5离散傅里叶变换与Z变换的关系1weixzh@在Z平面单位圆上，取辐角为的等间距的第k个点，计算其Z变换。因此，有限长序列的DFT可解释为它的Z变换在单位圆上的均匀抽样。1weixzh@二.以如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样时域抽样:

对一个频带有限的信号，根据抽样定理对其进行抽样，所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓，因此，完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样:对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得X(k)就是序列傅氏变换的采样。所以DFT就是频域抽样。1weixzh@2.由频域抽样恢复序列由于x(n)绝对可和，故其傅氏变换存在且连续，也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样，对X(Z)在单位圆上N等份抽样，就得到X(k)。一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为1weixzh@对X(k)进行反变换,并令其为xN(n),则1weixzh@是非周期序列x(n)的周期延拓，也就是说，频域抽样造成时域周期延拓。可见，由得到的周期序列其中1weixzh@当x(n)不是有限长时，无法周期延拓；当x(n)的长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即3.频域抽样不失真的条件1weixzh@1.由X(k)恢复X(Z)序列x(n),（0nN-1）的Z变换为二.由X(k)表达X(Z)-内插公式1weixzh@1weixzh@称作内插函数。上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中1weixzh@。。。。。。。将内插函数写成如下式:2.内插函数的特性1weixzh@令分子为零，得:所以有N个零点。为一阶极点，Z=0为(N-1)阶极点。但是极点与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不为零,其他(N-1)个抽样点均为零。令分母为零，得1weixzh@代入4.内插函数的频率特性3.频率响应单位圆上的Z变换即为频响,1weixzh@的函数又是k的函数,其可表示为当k=0时,则有可见,既是1weixzh@所以时时这说明在本抽样点为1，在其他抽样点为0。1weixzh@其中，相位特性幅度特性当N=5时,的1weixzh@N=51weixzh@1weixzh@而在其他抽样点上这就是说,内插函数在本抽样点由于i与k均为整数,所以时1weixzh@就精确等于X(k)。即的特性可知,在每个抽样点上其值为1,故由于与X(k)的关系1weixzh@而在抽样点之间等于加权的内插函数值叠加而得。1weixzh@§9-7离散傅里叶变换的应用运用DFT方法，往往伴随FFT算法的实施，所谓的应用几乎成为FFT应用的同意语。（一）快速卷积若长度为N1的序列x(n)与长度为N2的序列h(n)作线卷积，得到：y(n)为长度为N1+N2–1的有限长序列，要做N1*N2次乘法运算，当N1=N2=N，要做N2次乘法。1weixzh@直接卷积与快速卷积如果把求线卷积改为求圆卷积，两序列分别补零加长为为N1+N2–1，则有可能减少运算次数。x(n)y(n)卷积FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)y(n)1weixzh@在快速卷积过程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相当于3次FFT运算量，在一般数字滤波中，由h(n)求H(k)是事先计算完成放在存储器中，故只需2次FFT的运算量，若假设N1=N2=N，则补零后：故需要此外X(k)与H(k)两序列相乘，还需要2N次复乘，全部复数乘法次数为：次复数乘法运算随着N的增大，该运算量比N2显著减少。1weixzh@以上分析是针对两序列长度相近或相等的情况，如果一个序列很短，而另一序列很长，则需要补很多零，圆卷方案甚至增加运算量，可采用分段卷积的方法，其基本原理是将x(n)分成若干小段，每小段长度与h(n)接近，将x(n)的各小段与h(n)卷积，最后取和，仍可发挥快速卷积的优越性。1weixzh@（二）快速相关相关和自相关也可借助FFT完成。x(n)y(n)相关FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H*(k)y(n)h(n)共轭H*(k)1weixzh@相关运算常见于雷达和声纳系统中，应用该运算确定信号的时间延迟。当x(n)与h(n)是同一信号，y(n)是自相关函数，而Y(k)是x(n)的功率谱。1weixzh@（三）利用DFT对连续时间信号的逼近其中,T为抽样间隔。或者一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差1.混叠现象为避免混叠,由抽样定理可知，须满足其中fs为抽样频率;fh为信号的最高频率分量对于时间有限信号，其傅立叶变换不可能是有限带宽，抽样后必然带来混叠(aliasing)，减小抽样间隔可减弱混叠，但总不可避免。1weixzh@若信号频谱有限，则时间函数必然是无限的。在实际应用中，为利用FFT对信号进行分析，必须把时间截取一定范围，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，时间加窗使频谱产生失真，它从原有的频率受限图中扩散出来，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏（leakage）。2.频谱泄漏1weixzh@0n0nn1weixzh@3.栅栏效应用DFT计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期，可使F变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。1weixzh@[例]有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频率分辨率为，（2）信号的最高频率，试确定以下参量：（1）最小记录长度;(2)抽样点间的最大时间间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。解：（a）最小记录长度（b）最大的抽样时间间隔T(c)最小记录点数N1weixzh@2.连续时间周期信号傅氏级数变换对二.DFT与连续信号傅氏变换相对数值的确定1.连续时间非周期信号傅氏变换对1weixzh@3.DFT变换时:1weixzh@4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换幅度电平未受到影响。用DFT计算所得的频谱分量乘以T，就等于频谱的正常幅度电平；用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换，再乘以fs就得到所需信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率,再从频率到时间，整个过程总共乘了1weixzh@设用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：1weixzh@1weixzh@mai