线性代数向量的定义及运算

关于线性代数向量的定义及运算第一页，共十八页，2022年，8月28日平面上的向量的全体：任意规定加法和数乘为：易见向量的加法和数乘满足矩阵的8条运算规律.于是就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的运算（加法和数乘），这两个运算适合8条规律.§4.1向量的定义及运算第二页，共十八页，2022年，8月28日同样，（欧式）空间中的向量视为即实数域上所有三维向量的全体.类似地规定向量加法和数乘，加法和数乘运算也适合8条规律.第三页，共十八页，2022年，8月28日n维行向量和n维列向量都称为n维向量(vector)，n维向量常用小写黑体字母表示.将2、3维向量推广到n维向量.定义4.1.1由n个数构成的有序数组，记作称为n维行向量；若记作则称为n维列向量.称数为的第i个分量.第四页，共十八页，2022年，8月28日例：n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量例：n-1次代数多项式系数向量n维向量的实际意义：第五页，共十八页，2022年，8月28日

时，维向量没有直观的几何形象．例：确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量第六页，共十八页，2022年，8月28日定义4.1.2设两个向量则称向量α与β相等，记作α=β.（1）如果它们对应的分量分别相等，即（3）数量乘法：k为实数，称向量（2）加法：称向量为α与β的和，记作为k与α的数乘，记作第七页，共十八页，2022年，8月28日（5）称为α的负向量，记作-α.因而可以定义向量的减法运算：（4）分量全为0的向量称为零向量，记作0（注意区别数零和零向量）.第八页，共十八页，2022年，8月28日对任意的n维向量α,β,γ及任意的数k,l，向量的线性运算满足下面八条基本的运算规律：

向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算，这些运算可归结为数（分量）的加法与乘法.显然，向量的线性运算是矩阵的线性运算的特殊情形.第九页，共十八页，2022年，8月28日定义4.1.3全体n维实行向量构成的集合，对于上面定义的向量加法、实数与向量的数乘运算，构成n维（实）行向量空间；类似地，定义n维（实）列向量空间；用符号表示或，称为n维（实）向量空间.第十页，共十八页，2022年，8月28日例4.1.1设求解：第十一页，共十八页，2022年，8月28日得到的向量称为向量组的线性组合，或称可由线性表出.定义4.1.4给定中的向量实数经线性运算两个向量的线性组合的几何示意图第十二页，共十八页，2022年，8月28日证明：由向量的线性运算，得即例4.1.2向量和的几个线性组合：例4.1.4证明：任意n维向量是向量组的线性组合.第十三页，共十八页，2022年，8月28日例4.1.5令，能否写成和的线性组合？解：根据定义，问题即判断向量方程是否有解.即第十四页，共十八页，2022年，8月28日利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形：解是因此可以写成和的线性组合：第十五页，共十八页，2022年，8月28日其增广矩阵为当是行向量空间时，上式两端转置，得当是列向量空间时，其增广矩阵为有无解.一般地，判断能否由向量组线性表出，即判断向量方程线性方程组的向量表示形式第十六页，共十八页，2022年，8月28日定义4.1.5设由的所有可能的线性组合构成的集合称为由

张成（生成）的的子集，记为即

若和是非零向量，且不共线，则表示由向量和确