圆锥曲线切线尺规作图方法(东大徐文平)

圆锥曲线切线的尺规作图方法徐文平

东南大学土木工程学院[1]徐文平.圆锥曲线切线的尺规作图法及其简证[J]，数学学习与研究，2014.5[2]徐文平.圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理[J]，数学学习与研究，2014.7

[3]徐文平.椭圆焦点弦的优美性质及其简证[J]，中学数学研究，2014.5[4]徐文平.花中觅寻蝶影妙证蝴蝶定理[J]，数学学习与研究，2014.3

命题1：过椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、K是椭圆Y的象限点，JA、BK两条延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。过椭圆上一点作切线方法

命题2：已知椭圆的斜向割线AB，点J、K是椭圆的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。过椭圆上一点作切线方法

命题3：已知椭圆Y的一斜向割线AB，作一条过椭圆心O点的任意割线JK，与椭圆Y相交于J、K两点。JA、BK交于E点，作AK、JB交于F点。确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。

过椭圆上一点作切线方法

新定理1（徐文平）：圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理（椭圆、双曲线或者抛物线的内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理（椭圆、双曲线或者抛物线的内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理（椭圆、双曲线或者抛物线的内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理

（新定理证明要点）

引理1：二次圆锥曲线的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。

引理2：圆锥曲线中的极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于P相应的极线。反之亦然，称为极点与相应极线对偶性。第一步：通过引理1、2，证明下述3个图形成立第二步：赛瓦定理和梅涅劳斯定理证明四极点调和分割第三步：对于内接四边形的对角线特例情况--通过圆心或垂直y轴，进行应用研究

命题4：已知双曲线的斜向割线AB，点J、K是双曲线的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是双曲线的切线。（如果JK为过双曲线中心的任意割线，双曲线切线做法也成立。）

过双曲线上一点作切线方法

命题5：已知抛物线的斜向割线AB，点J是抛物线上任意一点，JA与B点竖垂线交于F点，JB与A点竖垂线交于E点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是抛物线的切线。（如果点J是抛物线的顶点，则抛物线切线做法更简单，此时EF为水平线）过抛物线上一点作切线方法

勒姆柯尔过椭圆外一点P，引四条割线PAiBi（i=1,2,3,4）,直线A1B2与A2B1交于Q点，直线A3B4与A4B3交于R点，直线QR交椭圆于S、T两个点，则S、T是椭圆对应点P的两个切点，直线PS、PT就是所求的切线过椭圆外一点作切线方法

大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法，写信给高斯，信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法。

过椭圆外一点作切线方法

高斯在收到舒马赫的信第六天，回信提出了一个只需引两条割线。就可以作椭圆切线的简捷方法。

过椭圆外一点作切线方法

虚拟椭圆法（徐文平）：已知椭圆Y1和椭圆外一点A，以椭圆Y1的长轴a为半径作圆G1，过A点做竖向垂线L1，与水平轴相交于C点，在竖向垂线L1截取一点B，使得。过B点，作小圆G1的切线T1，相交于圆G1于切点D，相交于水平轴于N点，连接N点与A点连线，NA即所求小椭圆Y1的切线T2。过椭圆外一点作切线方法

命题6：已知双曲线外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与双曲线交于S、T两点，PS、PT就是双曲线的切线。过双曲线外一点作切线方法

命题7：已知抛物线外一点，过P点作PAB与PCD二条任意抛物线割线，AD、CB交于Q点，在y轴上确定一点，连线QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。过抛物线外一点作切线方法

过抛物线外一点作切线方法命题8：已知抛物线外一点，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作竖向垂线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作竖向垂线与AC交于Q点。在y轴上确定一点，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。

过抛物线外一点作切线方法

命题8：已知抛物线外一点，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作水平线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作水平线与AC交于Q点。在x轴上确定一点，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。

极点极线与密克尔点

命题9：M点是完全四边形ABCDEF的密克尔点，ABCD四点共圆，对角线AC、BD交于Q，圆⊙O内接四边形ABCD的AB、DC对边延伸交于E，BC、AD对边延伸交于F，连线EF是Q极点关于圆⊙O的极线，则M点必定在极线EF上，且O、Q、M三点共线，OM⊥EF。

椭圆焦点弦的优美性质及其简证

性质1：过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于P、Q点，点A、B为椭圆长轴上的顶点，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，点C为MN的中点，则有以下一些优美的性质。（1）MF⊥NF；（2）FC⊥PQ；

（3）MN的中点C为焦点弦PQ的极点，即PC、QC与椭圆相切；（4）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

椭圆焦点弦的优美性质及其简证

性质2：过椭圆一个焦点F的任意两条焦点弦PQ与AB，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，点C为PQ的极点，点D为AB的极点，则有以下一些优美的性质。（1）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

（2）MF⊥NF；（3）FC⊥PQ，FD⊥AB；

（4）CD调和分割MN，即1/NC+1/ND＝2/NM。

花中觅寻蝶影妙证蝴蝶定理（徐文平