刚体转动 - 习题

刚体的转动习题第四章授课教师：张伟Email:zwphys@西南科技大学理学院刚体定轴转动的几类问题1、

一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地加速，经0.50s转速达10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所作的功；（3）从拉动后经t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。=1.26×102rad/s2

===ωatnπ2t2×3.14×100.51.26×102×(0.5)2=5π21at2==θ21×N=θπ2=2.5rωant==π2(1)解：==aFRJ=5.6×10-2×1.26×102

0.1547N=θA=MFRθ47×0.15×5π=111J=aFMRJ==(2)ωRv==0.15×1.26×103

=1.89×102m/sat=Ra=0.15×1.26×102an2=ωR=0.15×(1.26×103)2

=2.38×105m/s2

=1.26×102×10=1.26×1031/sωat=(3)=18.9m/s2一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为R，整个装置架在光滑的固定轴承之上，当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s，试求整个轮轴的转动惯量(用m、R、t和s表示)。解：研究系统，物体和轮轴，当物体下降s距离时，物体和滑轮的运动方程为

根据（3）：两均质皮带轮的半径分别为R1和R2，质量分别为m1和m2，都可以视为匀质圆盘，两轮以皮带相连，分别绕两平行的固定轴O1和O2转动，如果在第一轮上作用一力矩M，在第二轮上作用有负载力矩M’，设皮带与轮间无滑动，皮带质量以及两轴处的磨擦均忽略不计，试求第一皮带轮的角加速度。o1o2MM’T1T2T1’T2’R1R2o1o2MT1T2T2’R1T1’M’（4）长为l质量为m的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角为θ时（见图），求：（1）质心的速度；（2）杆的角速度。qABl0xc==vcx0ω=vc=sinql2vcyω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc=tddqω解：选质心坐标系由机械能守恒：qlcos2=yctdsin==ycdql2tddqvcyqABl123qg2sin+()1qcos()l1ω=ω=vcsinql2123qg2sin+()1qcos()l1=sinql2+m21ωsinql4222()ωml2241=21qcosgm2()l将代入得：vcω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc一根长为、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为，则v0的大小为[]5、一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴转动，棒的质量为长度为对轴的转动惯量为，初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子弹的质量速率问（1）棒开始和子弹一起转动时角速度？（2）若棒转动时受到大小为的恒阻力矩作用，棒能转过的角度？o（2）转动定律转动定律：（1）角动量守恒一根质量为m、长度为L的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为，在

时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为0，则棒停止转动所需时间为

。

求：棒从碰撞开始到停止转动所用的时间。

（12）质量为m1,长度为l

的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕端点O转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，它与棒的A端相碰撞，碰撞前后的速度分别为及mv1v2。Amvl1v21m2O13=Im1l2+=ωImvl21mvl22=+mv21mvl123()AOmvl1v21m2解：由角动量守恒得ωImvl21=mvl22棒上dx段与桌面间的摩擦力为：gxfmdm1=ld=dMfdx=gxmdm1lxdx段所产生摩擦力力矩为：òM0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvl122()mt摩擦力力矩为：dM=gxmdm1lx由角动量原理：òM0=ttdMtω013m1l2=)=13m1l2+mv21mvl123(.所用的时间为：*8、一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为m，半径为R，绕过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。当它以初角速度ω0转动时，由于上下表面受到空气的摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大小，比例常数为k，求它一共能转多少圈？

解此题的关键是求出摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩有什么特点？因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力大小一样，方向不同，但它们产生的力矩方向相同。转动过程中，由于角速度ω不断变化，所以同一点处摩擦力的大小也要随时间变化，是一个变力矩的问题。方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。方法一：应用转动定律单位面积元所受的摩擦力为：圆环上所有面元的力矩方向相同，即均向里，由转动定律方法二、角动量定理因为力矩和角动量方向在同一直线上，

（5）

在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为m的人。圆盘的半径为R，转动惯量为J，角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。ωω´+=J2RmωJEkΔ=Ek´Ek´=Δωω=ωω2RmJ21=J+J()2Rm2J2ω2=21J+J2Rm2()2Rm解：系统角动量守恒ω´+=J()2RmωJ(1)21=+J()2Rm2Jω2(2)21=Jω2Ek´´ω

（6）

在半径为R1、质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2（＜R1）的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为

v，问圆盘将以多大的角速度旋转？ωR1R2´=R2vω人对盘的角速度盘对地的角速度ω由角动量守恒得：ω0+″=R22mJω´ω+==ω″ωR2+ωv人对地的角速度RJ1221=m解：0=ωR1221m+R22mR2+ωv()=ωR1221m+R2mvR22m=R122+R2vR222ωR1R2（7）在一半径为R、质量为m的水平圆盘的边上，站着一个质量为m′的人。这圆盘可绕通过中心的竖直轴转动，转轴与轴承之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边缘走一周回到盘上原有位置时，这圆盘将转过多大的角度？ωRm´m盘对地的角速度ω由角动量守恒得：´ω0+″=R2mJωRJ221=m解：´=Rvω人对盘的角速度r0=ωR221m+R2mR+ωv()´r´ω+==ω″ωR+ωv人对地的角速度r=ωR221m+RmvR2m´r´ωRm´m=´R21m+mvmr´()tΔ由题意在时间内，人相对盘转过的角度为：´r=´R2m+mvm()Rrvπ2´=´2m+mm()π4´rωqtΔ==´R+mvm()tΔ2mtΔ在时间内，盘相对地转过的角度为：R=rvtΔπ2∴R´==ωtΔrvtΔπ2q=´（8）如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度ω作匀速转动。转台对该轴的转动惯量J=5×1O-5kg.m。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径r=0.1m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为ω0/2所花的时间。ω0ωJ2´21+==()ω0J´Jmrω0==mdtdtm2Jrmdtd==5×10-51×10-30.12()×5sω0ω0=221Jm21r=J5×10-5kg.m21m-3d×=td10kg/s已知：解：由角动量守恒2=Jmrω0r

（9）

飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r／min，现要求在5s内使其制动，求制动力F,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。Fωd闸瓦0.5m0.75m=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFNfl1l2RJm2==60×(0.25)2

解：ω104.720.9r/s250at===ω0l1+=()Fl2Nl10=RJfma=NRl1=Fl1+l2mRJa=314Nm=NRJa

（10）如图，滑轮的转动惯量J=0.5kg·m2，半径r=30cm，弹簧的劲度系数为k=20N/m，重物的质量m=2.0kg。当此滑轮一重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长。如摩擦可忽略，问物体能沿斜面滑下多远？37Jmrk0b+ωgmk