结构力学(一)第三版龙驭球球第六章力法

温度支座一、回顾上节课内容：多因素下的位移计算一般公式§5-7线性变形体系的互等定理本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。

线弹性结构的互等定理1.功的互等定理:

在线性变形体系中，①状态的外力在②状态位移上所做虚功，恒等于②状态外力在①状态位移上所做虚功。N1

M1

Q1N2

M2

Q2F1F2②P1P2①功的互等定理:即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。§5-7线性变形体系的互等定理2)位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1=FP2=1由功的互等定理式（a）则有：即：(a)第一状态FP1＝112δ21(b)第二状态FP2＝112δ12§5-7

线性变形体系的互等定理位移互等定理:

即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中：单位力——广义力（单位力偶、单位集中力）；位移——广义位移（线位移、角位移）。§5-7线性变形体系的互等定理

左图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移Δ1＝1时，使支座2产生的反力r21；另一种即为支座2发生单位位移Δ2＝1时，使支座1产生的反力r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。(a)第一状态r21Δ1＝112(b)第二状态Δ2＝1r12§5-7

线性变形体系的互等定理

左图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移Δ1＝1时，使支座2产生的反力r21；另一种即为支座2发生单位位移Δ2＝1时，使支座1产生的反力r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。Δ1＝112(a)第一状态r21(b)第二状态Δ2＝1r12§5-7

线性变形体系的互等定理根据功的互等定理有：反力互等定理:

即支座1发生单位位移所引起支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。(b)第二状态Δ2＝1r12(a)第一状态r21§5-7线性变形体系的互等定理

注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。由反力互等定理，则有：

r12=r21即反力偶r12等于反力r21（数值上相等，量纲不同）(a)第一状态

r2112φ1＝1(b)第二状态Δ2＝1r1212§5-7线性变形体系的互等定理4)反力位移互等定理这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。由两个状态应用功的互等定理，则有∵主功力与反力的功相反∴相差一负号(b)第二状态（由φ1=1引起δ21）δ2112φ1＝1（a）第一状态（由FP2=1引起r12）FP2＝1r1212§5-7

线性变形体系的互等定理单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反——反力位移互等定理§5-7线性变形体系的互等定理小结二、虚功原理We=Wi力：满足平衡位移：变形连续虚设位移虚位移原理（求未知力）虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件虚设力系三、Δ=刚架、梁桁架支座移动组合结构、拱各项含义正负号的确定虚设广义单位荷载的方法一、位移标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法五、互等定理适用条件内容W12=W21r12=r21四、图乘法求位移图乘法求位移的适用条件y0的取法åòå==DPEIydxEIMM0w2112dd=第6章力法

§6-1超静定结构的组成和超静定次数

§6-2力法的基本概念

§6-3超静定刚架和排架

§6-4超静定桁架、组合结构

§6-5对称结构的计算

§6-6、7超静定拱

§6-8支座移动、温度变化的计算

§6-9具有弹性支座的计算

§6-10超静定结构位移的计算§6-11超静定结构计算的校核

§6-12静定、超静定结构特征比较主要内容1）超静定结构

拱

组合结构§6-1超静定结构的组成和超静定次数——由于有多余约束，其反力、内力不能由静力平衡条件全部确定的结构。——几何不变，有多余约束。2）特征3）超静定结构的类型

桁架

超静定梁

刚架（1）超静定次数——结构多余约束或多余未知力的数目，即为超静定次数。（2）确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。（3）去掉（解除）多余约束的方式4）超静定次数确定

a、去掉或切断一根链杆——去掉1个约束（联系）；X1

b、去掉一个单铰——

去掉2个约束；

c、切断刚性联系或去掉一个固定端——去掉3个约束；X1X2X1X2X3X1X2X3

d、将刚性连结改为单铰——去掉1个约束。注意事项（1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因此，某些约束是不能去掉的。X1举例：X1X2X1X2X1X3X2X4X3X1X2X1X2举例：X1X2X3X1X2X3每个无铰封闭框超三次静定超静定次数3×封闭框数=3×5=15超静定次数3×封闭框数－单铰数目=3×5－5=10举例：（4）对于复杂结构，可用计算自由度的方法确定超静定次数①组合结构：n—超静定次数；m—刚片数；h—单铰数；r—支座链杆数。例：确定图示结构超静定次数。

该结构为一次超静定结构此两链杆任一根都不能去掉此链杆不能去掉②桁架结构：n—超静定次数；j—结点数；b—杆件数；r—支座链杆数。例：确定图示桁架超静定次数。该结构为二次超静定结构。③框架结构：

n—超静定次数；f—封闭框格数；h—单铰个数。例：确定图示结构的超静定次数。

该结构为3次超静定结构该结构为11次超静定结构211111课间休息听段音乐§6-2力法的基本概念1）解题思路——将超静定问题转化为静定问题求解（1）确定超静定次数——具有一个多余约束，原结构为一次超静定结构。（2）取基本体系——去掉多余约束（链杆B），代之以多余未知力X1。

基本体系X1例：图示单跨超静定梁X1—称为力法的基本未知量。2）解题步骤qABqABl

原结构（3）求基本未知量X1

==+

①建立变形协调方程

Δ11：由多余未知力X1单独作用时，基本结构B点沿X1方向产生的位移Δ1P：由荷载q单独作用时，基本结构B点沿X1方向产生的位移由迭加原理，上式写成：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0

——变形协调方程。基本体系与原结构在去掉多余约束处沿多余未知力方向上的位移应一致，即：Δ1＝0§6-2力法的基本概念qABlABX1qqABABX1

=BBX1=+§6-2力法的基本概念由于X1是未知的，△11无法求出，为此令：△11=δ11×X1

δ11——表示X1为单位力时，在B处沿X1方向产生的位移。式：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0

可改写成：

δ11X1＋Δ1P＝0式中δ11、Δ1P被称为系数和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。一次超静定结构的力法方程1×X1AAqBlqqX1ABAδ11X1

②求系数δ11、自由项Δ1P由图乘法，得：δ11Δ1P——均为静定结构在已知力作用下的位移，故可由积分法或图乘法求得。

ABlM1图作、图，MMP

MP图lAB§6-2力法的基本概念

③

将δ11、Δ1P代入力法方程，求得X1由上式，得：

④按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图

其中：（与所设方向一致）δ11X1＋Δ1P＝0——迭加原理绘制ABlqM图§6-2力法的基本概念

3）力法概念小结

解题过程（1）判定超静定次数，确定基本未知量；（2）取基本体系；（3）建立变形协调方程（力法方程）；（4）求力法方程系数、自由项（作Mp、M图）；（5）解力法方程，求基本未知量（X）；（6）由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。§6-2力法的基本概念力法的特点

（1）以多余未知力作为基本未知量，并根据基本结构与原结构变形协调的位移条件，求解基本未知量；（2）力法的整个计算过程自始至终都是在基本体系上进行的。因此，就是把超静定结构的计算问题，转化成了前面已学习过的静定问题；（3）基本体系与原结构在受力、变形和位移方面完全相同，二者是等价的。（4）基本体系的选取不是唯一的。§6-2力法的基本概念（3）根据变形条件，建立力法方程——二次超静定结构的力法方程BAqC

基本体系X2X1LLqABC

原结构

4）力法的典型方程——多次超静定结构讨论解：（1）超静定次数：2次（2）选择支座B的约束为多余约束，取基本体系如图所示。例：图示一超静定结构。§6-2力法的基本概念

δ11、δ12、Δ1P——、和荷载分别单独作用于基本体系时，B点沿X1方向产生的位移；X1＝1X2＝1δ11δ21δ12δ21Δ1PΔ2P

δ21、δ22、Δ2P——、和荷载分别单独作用于基本结构时，B点沿X2方向产生的位移；X1＝1X2＝1荷载作用X2＝1作用X2＝1X1＝1作用X1＝1ACBqCBACBA§6-2力法的基本概念（4）求系数、自由项——上述各系数和自由项均可由上式积分或通过、、图的图乘求得。MPM2M1（5）解力法方程，求基本未知量：X1、X2。§6-2力法的基本概念推广至n次超静定结构（1）力法方程——力法典型方程

注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。§6-2力法的基本概念（2）系数（柔度系数）、自由项

主系数δii(i＝1,2,…n)——单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；Xi＝1

副系数δ

i

j(

i≠j)——单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，可为正、负或零，且由位移互等定理：

δ

i

j=δ

j

iX

j＝1§6-2力法的基本概念

自由项ΔiP

——荷载FP单独作用于基本体系时，所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。（3）典型方程的矩阵表示（4）最后弯矩§6-2力法的基本概念§6-3超静定刚架和排架1）刚架

以图示刚架为例解：●

判定超静定次数，选择基本体系X2X1原结构为：二次超静定拆去A端的固定支座，以多余未知力X1、X2代之，其基本体系如图所示。

原结构CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本体系

●根据基本体系与原结构变形协调条件，建立力法方程。由水平位移Δ1＝0垂直位移Δ2＝0——力法典型方程得：

原结构CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本体系

X1X2§6-3超静定刚架和排架

注：计算系数和自由项时，对于刚架通常可略去轴力和剪力的影响，而只考虑弯矩一项，为此，只需绘出弯矩图。X1＝1

M1图Mp图X2＝1

M2图●作基本体系的图，求系数及自由项2ICBAIFPCBA2IIaCBI2IA

a§6-3超静定刚架和排架利用图乘法，可求得：Mp图FPCBI2IAX1＝1

M1图2ICBAI

aX2＝1

M2图CBA2IIa§6-3超静定刚架和排架利用图乘法，可求得：Mp图FPCBI2IA

M1图X1＝12ICBAI

a

M2图X2＝1CBA2IIa§6-3超静定刚架和排架

M1图X1＝12ICBAI

a

M2图X2＝1CBA2IIa●将系数、自由项代入方程中，求得多余未知力§6-3超静定刚架和排架解得：●求内力图（1）M图—由§6-3 超静定刚架和排架迭加原理绘制aa/2a/2FP

M图

M1图X1＝12ICBAI

a

M2图X2＝1CBA2IIa（2）FQ图—可由基本体系逐杆、分段定点绘制，也可利用M图绘制。§6-3 超静定刚架和排架FQ图ABFPCD2II基本体系

X1X2○○+BCAD○+

M图ADCB（3）FN图—可由FQ图中取出结点，由平衡方程求得各杆FN，同杆也可以由基本体系逐杆，分段求得。?FQCBFNCBFNCD取C结点：FQCAFN图BCADFQ图○+BCAD○+○○○§6-3 超静定刚架和排架说明：1）超静定结构在载荷作用下，其内力与各杆件EI的具体数值无关，只与各杆EI的比值（相对刚度）有关；2）对于同一超静定结构，其基本结构的选取可有多种，只要不为几何可变或瞬变体系均可。然而不论采用哪一种基本体系,所得的最后内力图是一样的。ABFPCD2II基本体系1

X1X2X1X2A

基本体系2CBD2IIFPFP

基本体系3X2X1如前面的刚架：§6-3 超静定刚架和排架2）排架——单层工业厂房（1）排架结构与计算简图结构形式计算简图基础柱子桁架EA=∞§6-3 超静定刚架和排架（2）计算假定

计算横向排架（受侧向力作用的排架），就是对柱子进行内力分析。通常作如下假设：

认为联系两个柱顶的屋架（或屋面大梁）两端之间的距离不变，而将它看作是一根轴向刚度为无限大（即EA=∞）的链杆。计算简图EA=∞§6-3 超静定刚架和排架（3）计算方法及步骤●将横梁作为多余约束，并将其切断，代之以多余反力，得到基本结构；●作Mp、图，求系数及自由项；

M

●解力法方程，求出多余未知力；

●按静定问题求作最后内力图。

●利用切口处相对位移为零的条件，建立力法方程；

§6-3 超静定刚架和排架（4）举例

计算图示两跨排架，作出弯矩图。E＝C，I2＝5I1，h1＝3m，h2＝10m，ME=20KN·m，MH＝60KN·m，CD杆、HG杆的EA=∞。DC原结构I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFGX1X2DC基本体系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG§6-3 超静定刚架和排架解：（1）此排架为二次超静定，选取基本结构如图。（2）建立力法方程。（3）作、、图，求系数及自由项。X1X2DC基本体系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG§6-3 超静定刚架和排架X2=1M1图Mp图

X1=1DCABEHFG2060DCABEHFGDCABEHFG1010377M2图2060§6-3 超静定刚架和排架M1图X1=1DCABEHFG10103X2=1DCABEHFG77M2图Mp图

2060DCABEHFG2060§6-3 超静定刚架和排架由图乘法，得：M1图X1=1DCABEHFG10103§6-3 超静定刚架和排架X2=1DCABEHFG77M2图M1图X1=1DCABEHFG10103§6-3 超静定刚架和排架Mp图

2060DCABEHFG2060X2=1DCABEHFG77M2图M1图X1=1DCABEHFG10103§6-3 超静定刚架和排架（4）解力法方程，求多余未知力解得：（5）由迭加法绘制弯矩图§6-3 超静定刚架和排架M图26.3713.916.067.506.0946.09EHDCABFG§6-4超静定桁架、组合结构（1）解题步骤及相关公式a、判定超静定次数，选取基本体系——切断多余桁架杆。b、根据切口处变形协调条件，建立力法方程。

——切口两侧截面相对轴向线位移应为零。c、求力法典型方程中的系数和自由项。

——分别求出基本结构在单位多余未知力和载荷作用下各杆的内力和NP，然后利用静定桁架位移计算公式求解。Xi＝1N1）桁架d、解力法方程，求出多余未知力Xie、求出各杆最后轴力——按迭加法求得

即：即：

§6-4超静定桁架、组合结构（2）例题

求图示超静定桁架的内力，EA为常数。解：a、确定超静定次数，取基本体系。aaCADB

原结构FP

一次超静定，切断BC杆b、建立力法典型方程由：得：X1§6-4超静定桁架、组合结构FP基本体系c、求各杆的、及、

其系数、自由项为：§6-4超静定桁架、组合结构X1-1-1-1-1图FPFP图FPd、解方程，求X1e、求各杆最后的轴力§6-4超静定桁架、组合结构FPFN图其中：2）组合结构（1）解题要点及公式

其解题步骤与桁架基本相同，但对于系数和自由项的计算略有不同。对于梁式杆计弯矩的影响，对于链杆计轴力的影响。、、

的计算公式：组合结构梁式杆杆链§6-4超静定桁架、组合结构ACDB2）例题

求所示组合结构的内力。解：a、取基本体系b、列力法方程原结构基本体系该结构为一次超静定，切断CD杆，代之以X1。§6-4超静定桁架、组合结构A

由：得：L/2L/2aaA

CDBEI1A2A1A3

qkN/mCDBEI1A2A1A3

qkN/mX1（3）计算δ11、Δ1P

§6-4超静定桁架、组合结构a/2ha/2hL/4A

CBEI1A1DA2A3X1=1-1L/4（3）计算δ11、Δ1P

§6-4超静定桁架、组合结构A

CDBEI1A2A1A3X1=1a/2ha/2h-1000qL2/8（4）解力法方程，求X1（5）求最后的内力N、M

由迭加法求得§6-4超静定桁架、组合结构

FN、M图aX1/2haX1/2hX1LX1/4×qL2/8§6-5 对称结构的计算1、对称结构3EI3EIEIEI2EI3EIEIEI1）定义——结构的几何形状、支承状况和各杆的刚度（EI、EA）均对称于某一轴线，这种结构被称为对称结构。2）两类问题——正对称与反对称问题（1）正对称问题——对称结构在正对称载荷作用下的情况（2）反对称问题——对称结构在反对称载荷作用下的情况§6-5 对称结构的计算（a）正对称FPFPFPFP（b）反对称2、正对称问题（a）原结构（b）基本体系§6-5 对称结构的计算FPFP33LFPFP33LX1X2X3力法方程：66L/2L/2L/21113FP3FP作图，求系数与自由项：§6-5 对称结构的计算FPFPMP图X1=1M1图X2=1X3=1M2图M3图§6-5 对称结构的计算3FP3FPFPFPMP图66X1=1M1图L/2L/2L/2X2=1M2图111X3=1M3图由上可见：MP、M1、M3图是正对称的，M2图是反对称的，由图乘可知：由②式得：

X2=0

§6-5 对称结构的计算力法方程变成：①②③结论：结构对称，荷载对称，在结构的对称点处，只有对称的内力存在，反对称的内力等于零。因此上述结构在对称荷载作用下，是2次超静定的。3、反对称问题§6-5 对称结构的计算（a）原结构FPFP33L力法方程：（b）基本体系FPFP33LX1X2X33FP66L/2L/2L/21113FP作图，求系数与自由项：§6-5 对称结构的计算FPFPMP图X1=1M1图X2=1X3=1M2图M3图§6-5 对称结构的计算3FP3FPFPFPMP图66X1=1M1图L/2L/2L/2X2=1M2图111X3=1M3图由上可见：M1、M3图是正对称的，M2、MP图是反对称的，由图乘可知：由①、③式得：

X1=X2=0

§6-5 对称结构的计算力法方程变成：①②③结论：结构对称，荷载反对称，在结构的对称点处，只有反对称的内力存在，对称的内力等于零。因此上述结构在反对称荷载作用下，是1次超静定的。4、未知力分解与载荷分解

1）未知力分解对于对称的超静定结构，虽然选取了对称的基本结构，但若载荷是非对称的，那么，多余未知力对结构的对称轴来说却不是正对称或反对称的，因此，有关副系数不可能为零，因而，达不到简化计算的目的。对于这种情况，为使副系数尽可能多的等于零，采用将未知力分解（分组）以实现这一目的。§6-5 对称结构的计算§6-5 对称结构的计算FPY1X2FP原结构基本体系=Y1X1Y2Y2基本体系=FPX1=Y1+Y2X2=Y1－Y2§6-5 对称结构的计算Y1=1Y2=1Y2=1FPMP图Y1=1M1图力法方程：两个独立方程M2图2）载荷分解

当对称结构承受一般非对称载荷时，除了可将未知力分解外，还可将载荷分解为正，反对称的两组，以实现简化计算的目的。FP+=§6-5 对称结构的计算原结构正对称反对称FP/2FP/2FP/2FP/2（b）正对称+=§6-5 对称结构的计算qFP（a）原结构LLEIEILLEIEIFP/2FP/2q/2LLFP/2FP/2q/2q/2（b）反对称例：利用对称性计算图示结构。所有杆长均为L，EI也均相同。原结构解：1、由于该结构的反力是静定的，求出后用反力代替约束。

2、该结构有两根对称轴，因此把力变换成对称与反对称的。==+原结构=对称+反对称§6-5 对称结构的计算

对称情况，只是三根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。

反对称情况，在荷载作用下，梁会发生相对错动，因此会产生弯矩。该结构有两根对称轴，对于竖向对称轴，荷载是对称的，对于水平对称轴荷载是反对称的。

+原结构§6-5 对称结构的计算§6-5 对称结构的计算X1X1基本体系反对称情况的基本体系如图所示。该结构应是6次超静定的，但由于荷载相对水平轴是反对称的，因此切开的截面处只有反对称的内力存在，即只有剪力。又由于荷载对于竖向对称轴是对称的，因此两个多余未知力应该大小相等，方向相反。

综上所述，该结构在所示荷载作用下是1次超静定的。§6-5 对称结构的计算MP图X1=1X1=1M1图力法方程：后续计算省略。关于对称性的结论1、在对称荷载作用下，反对称未知力为零，只保留对称未知力2、在反对称荷载作用下，对称未知力为零，只保留反对称未知力3、一般荷载可分解为对称荷载与反对称荷载两组，分别计算内力后进行叠加。4、若选择了对称基本结构而基本未知力不对称时，可采用组合未知力的方法，将基本未知力分解为对称和反对称两组分量，形成组合未知力，可使计算简化5、具有两个正交对称轴的结构，可在两个对称轴方向上均利用对称性，使计算尽可能简化6、刚架、排架若只有结点集中荷载作用，则只有荷载的反对称分量产生弯矩，荷载的对称分量不引起弯矩。7、在对称荷载或反对称荷载作用下，可用半结构进行计算。8、在对称单位未知力作用下，反对称位移（力法方程中相应的副系数）为零；在反对称单位未知力作用下，对称位移（相应的副系数）为零。

两铰拱为一次超静定结构，取简支曲梁为基本体系。（2）建立力法典型方程§6-6、7超静定拱1、无拉杆两铰拱

计算如图所示两铰拱。原结构x1基本体系（曲梁）（1）确定超静定次数LfFP2FP1FP2FP1§6-6超静定拱原结构oyxX1=1yφLfFP2FP1基本体系（曲梁）x（3）计算系数及自由项在X1=1的作用下，曲梁的受力性能与拱相同，因此计算系数δ11时，应考虑弯矩和轴力的影响，计算公式：X1=1φ§6-6超静定拱原结构LfFP2FP1（3）计算系数及自由项X1=1φoyxyφ基本体系（曲梁）xFP2FP1在FP的作用下，曲梁的受力性能与简支梁相同，因此计算自由项△P时，只需考虑弯矩的影响，计算公式：（4）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）式中，、——分别表示相应简支梁的弯矩和剪力。（5）求内力水平推力X1求得后，各截面内力计算与三铰拱内力计算相同。§6-6超静定拱2、有拉杆两铰拱计算如图示有拉杆两铰拱。1）特点：可避免支座受推力；2）解法：与无拉杆两铰拱相似，只是在计算δ11时，要计入拉杆轴向变形的影响，即:§6-6超静定拱

原结构FP2FP1Lf

基本体系FP2FP1X1EIEAE1A1§6-6超静定拱

原结构FP2FP1Lf

基本体系FP2FP1X1EIEAE1A1由力法方程可得多余力计算公式：任意点的内力计算公式：§6-6超静定拱有拉杆两铰拱FP2FP1LfEIEAE1A1

结论：●

有拉杆两铰拱的推力要比相应无拉杆两铰拱的推力小。当拉杆的E1A1→∞时，则有杆两铰拱的内力与无拉杆两铰拱趋于相同；而当E1A1→0时，则

X1→0，拉杆拱将成为简支曲梁而丧失拱的作用与特征。●设计时应加大抗杆抗拉度，以减小拱的弯矩。LfFP2FP1无拉杆两铰拱§6-8支座移动、温度变化的计算AhB

原结构

Lbaφ超静定结构有一个重要特点，就是在仅支座移动、温度改变等所有使结构发生变形的因素，都能使结构产生内力。用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与荷载荷作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的计算不同。1、支座移动时的计算

图示刚架，设支座A发生了图示位移。（1）判定超静定次数，取基本体系。为二次超静定问题基本体系如图所示。（2）由位移条件，建立力法典型方程。

§6-8支座移动、温度变化的计算AhB

原结构

Lbaφ

基本体系

BhLbX2X1（3）计算系数与自由项系数——计算同前由图乘求得。自由项——基本结构由支座移动引起的沿Xi方向的位移，即：X1＝1BA

b

hAB

bX2＝1

1M1图M2图

§6-8支座移动、温度变化的计算

h/L

1/LX1＝1BA

b

hAB

bX2＝1

1M1图M2图

§6-8支座移动、温度变化的计算

h/L

1/L（4）将、代入力法方程，求得X1、X2。（5）求弯矩2、温度变化时计算

图示刚架各杆内侧温度升高10℃，外侧温度不变，各杆线膨胀系数为α。EI和截面高度h均为常数。＋10°（2）列力法方程：

§6-8支座移动、温度变化的计算B

原结构

BALLC＋10°基本体系X1BALLC＋10°＋10°（1）确定超静定次数一次超静定，取基本体系如图所示。（3）求系数与自由项X1=1BAC

§6-8支座移动、温度变化的计算CBAX1=1LM1图1N1图（4）解方程求X1（5）求最后弯矩和轴力

§6-8支座移动、温度变化的计算BCAMM图BCANN图

图示梁具有弹性支座，弹簧系数为k（单位伸长所需的力）。（1）取基本结构

一次超静定，取基本体系如图所示。（2）弹簧处的位移负号表示△1的方向与X1相反。（3）建立力法方程Δ1

§6-8具有弹性支座的计算kFPABCL/2L/2原结构基本体系L/2L/2FPABCX1（4）求系数与自由项

作图与图，由图乘求得：（5）回代，由力法方程求得X1：

§6-8具有弹性支座的计算LABL/2L/2FPABCX1=1L

M1图FP/2MP图§6-9 超静定结构的位移计算

先回顾一下静定结构位移计算的步骤（荷载作用下）：▲

画出荷载作用下的弯矩图；▲

虚设一个单位力，并画出它的弯矩图；▲

对两个弯矩图进行图乘，就可得到的所要的位移。

对超静定结构完全可以按照上述步骤及方法进行，但这样做要多次解超静定结构。如：求图示结构B点的水平位移。FPBAC§6-9 超静定结构的位移计算

如：求图示结构B点的水平移。第一步：画出MP图要用力法解一次超静定。若结构是多次超静的，工作量将更大。第二步：画出M图又要用力法解一次超静定。BACFPMPFPMFP=1§6-9 超静定结构的位移计算

为了减少工作量，我们可以进行如下分析：=

由于基本体系与原结构完全等价，因此求超静定结构上某点的位移，可以到静定的基本体系上去求，步骤如下：1、画出基本体系在FP、X1作用下的MP图，由于X1是未知的，要画出MP图还需用力法求解；

2、虚设一个力的状态，这时可以在静定的基本体系上进行，并画出M图（是