数学物理方程-2-热传导方程-1-2

数学物理方程第二章热传导方程王炯华南理工大学土木与交通学院目录

热传导方程及其定解问题的导出

初边值问题的分离变量法

柯西问题的傅里叶变换法定解问题解的唯一性与存在性

解的渐近性态2/5/20232第2章热传导方程

2/5/202332.1

热传导方程及其定解问题的导出热传导方程2/5/20234问题背景热传导方程是一种典型的抛物型方程。它可以描述空间中热量传导、分子扩散等物理现象。热传导方程的导出2/5/20235

热传导方程的导出2/5/20236

热传导方程的导出2/5/20237根据热量守恒定律，由上述两式可得

热传导方程的导出2/5/20238由于时刻t1,t2及区域Ω都是任意的，可得上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程。

此式即为标准形式的齐次热传导方程。热传导方程的导出2/5/20239

基于上式，并通过类似的推导可得

定解问题的提法2/5/202310若已知物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度。因此，热传导方程的定解问题中也需要提出初始条件与边界条件。初始条件的提法

定解问题的提法2/5/202311边界条件的提法：第一类边界条件（狄利克雷边界条件）：设物体表面的温度随时间的变化是已知的。此时边界条件的数学形式为

定解问题的提法2/5/202312边界条件的提法：第二类边界条件（诺伊曼边界条件）：

定解问题的提法2/5/202313边界条件的提法：第三类边界条件：

此时需要应用另一热传导定律（牛顿定律）：从物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比

定解问题的提法2/5/202314边界条件的提法：第三类边界条件：考虑流过物体表面Γ

的热量，从物体内部一侧来看它应由傅里叶定律确定，而从物体与介质的接触面来看，它应由牛顿定律所确定，因此成立上述边界条件可进一步写为其中σ

为已知常数。定解问题的提法2/5/202315热传导方程的柯西问题：如果所考察的物体体积很大，而所需知道的是在较短时间和较小范围内温度的变化，边界条件的影响可以忽略。此时可提出热传导方程的柯西问题：

低维热传导方程2/5/202316一维热传导方程：例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝缘的，又温度分布在同一截面是相同的，则温度函数u仅与坐标x和时间t有关，于是可得二维热传导方程：类似地，如果考虑薄片的热传导，且假设薄片的表面绝热，则可得扩散方程2/5/202317与热传导方程类似地方程也可以在研究分子扩散的过程中（如气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等）得到。扩散定律与质量守恒定律

扩散方程2/5/202318通过比较可知，扩散过程中所满足的物理规律与热传导过程中所满足的物理规律具有非常类似的形式。基于上述物理规律，并通过与热传导方程类似的推导，可得如下扩散方程

第二章2/5/2023192.2初边值问题的分离变量法

分离变量法2/5/202320考虑下述一个空间变量的热传导方程的初边值问题：其中h

为正常数。我们将采用分离变量法对上述初边值问题进行求解。分离变量法2/5/202321令

分离变量法2/5/202322

根据边界条件综上，需求解下述常微分方程分离变量法2/5/202323

此时方程通解可以写成为了满足边界条件，必须因为分离变量法2/5/202324

此时方程通解可以写成为了满足边界条件，必须对于情形A和情形B，方程没有分离变量形式的非平凡解。分离变量法2/5/202325

此时方程通解可以写成由边界条件由边界条件

分离变量法2/5/202326

分离变量法2/5/202327由以上结果可知特征问题存在着无穷多个固有值及相应的固有函数分离变量法2/5/202328

由于方程和边界条件都是齐次的，故可利用叠加原理构造级数形式的解

分离变量法2/5/202329

分离变量法2/5/