山西省忻州市郭家滩中学2021年高二数学理期末试题含解析

山西省忻州市郭家滩中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a＞1”是“函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】我们可以根据充分、充要条件的定义进行判断．①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．【解答】解：∵a＞1时，由ax﹣2=0，得x=loga2＞0，∴函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点loga2．∴“a＞1”是“函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点”的充分条件；反之，若函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点，则零点为loga2，由loga2＞0，得a＞1，∴“a＞1”是“函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点”的必要条件．故选C．2.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（

）A. B. C.2 D.参考答案：A【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设，则由得，由得因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.3.已知.、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则 (

)

A． B． C．

D．与的大小关系不确定参考答案：A4.已知，观察不等式=3，…，由此可得一般结论：，则的值为（

）A． B． C．3 D．2参考答案：A略5.已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A、长方体

B、圆柱

C、四棱锥

D、四棱台参考答案：A略6.定义运算?=，如?=．已知α+β=π，α﹣β=，则?=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】根据新定义化简所求的式子，然后分别利用两角和的正弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简后，把已知的α+β=π，代入即可求出值．【解答】解：由α+β=π，，根据新定义得：====故选A7.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（

）A.240

B.480

C.720

D.960参考答案：B8.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是

（▲）A.（1）（2）

B.（2）（3）

C.(3)(4)

D.(1)(4)参考答案：D9.如下所示算法，若输入的x的值为2012，则算法执行后的输出结果是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.设a＞1，则log0.2a,

0.2a，

a0.2的大小关系是()A．0.2a＜log0.2a＜a0.2

B．log0.2a＜0.2a＜a0.2C．log0.2a＜a0.2＜0.2a

D．0.2a＜a0.2＜log0.2a参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的常数项为

．

参考答案：1212.在线段[0，a]上随机地投三个点，试求由点O到三个点的线段能构成一个三角形的概率是_____________________________________。参考答案：0.513.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

。

参考答案：314.“直线和直线平行”的充要条件是“

▲

”.参考答案：15.设a、b是非零向量，给出平面向量的四个命题：①|a·b|＝|a||b|；②若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；③存在实数m、n使得ma＋nb＝0，则m2＋n2＝0；④若|a＋b|＝|a|－|b|，则|a|≥|b|且a与b方向相反．其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)参考答案：②④16.在行列式中，元素5的代数余子式的值=______参考答案：12略17.已知整数对排列如下， 则第60个整数对是

▲

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于Ｐ、Ｑ两点，且，求该椭圆方程．参考答案：解：设，，设椭圆方程，消得有两根为，且有即即２＋（）＋１＝０解得椭圆方程为．略19.已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，点D（0，1）在且椭圆E上，（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G（t，0），求点G横坐标的取值范围．（Ⅲ）试用表示△GAB的面积，并求△GAB面积的最大值．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由点D（0，1）在且椭圆E上，知b=1，由e=，得到，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）法一：设直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．有直线AB过椭圆的右焦点F2，知方程有两个不等实根．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），由此利用韦达定理能够求出点G横坐标t的取值范围．法二：设直线AB的方程为x=my+1，由得（m2+2）y2+2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则，．得．所以AB垂直平分线NG的方程为y﹣y0=﹣m（x﹣x0）．令y=0，得，由此能求了t的取值范围．

（Ⅲ）法一：．而，由，，可得，所以．再由|F2G|=1﹣t，得（）．设f（t）=t（1﹣t）3，则f′（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．由此能求出△GAB的面积的最大值．法二：而，由，可得．所以．又|F2G|=1﹣t，所以．△MPQ的面积为（）．设f（t）=t（1﹣t）3，则f'（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．由此能求出△GAB的面积有最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵点D（0，1）在且椭圆E上，∴b=1，∵===，∴a2=2a2﹣2，∴，∴椭圆E的方程为（Ⅱ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∵直线AB过椭圆的右焦点F2，∴方程有两个不等实根．记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则x1+x1=，，∴AB垂直平分线NG的方程为．令y=0，得．∵k≠0，∴．∴t的取值范围为．解法二：设直线AB的方程为x=my+1，由可得（m2+2）y2+2my﹣1=0．记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则，．可得．

∴AB垂直平分线NG的方程为y﹣y0=﹣m（x﹣x0）．令y=0，得．∵m≠0，∴．∴t的取值范围为．

（Ⅲ）解法一：．而，∵，由，可得，，．所以．又|F2G|=1﹣t，所以（）．设f（t）=t（1﹣t）3，则f′（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．所以，当时，f（t）有最大值．所以，当时，△GAB的面积有最大值．解法二：而，由，可得．所以．又|F2G|=1﹣t，所以．所以△MPQ的面积为（）．设f（t）=t（1﹣t）3，则f'（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．所以，当时，f（t）有最大值．所以，当时，△GAB的面积有最大值．20.（本小题满分12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？.参考答案：（本小题满分12分）解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），，当时，，为增函数；当时，，为减函数。∴当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。略21.（本题满分12分）如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．（I）求证：MN∥平面BCD；（II）求证：平面BCD平面ABC；（III）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．

参考答案：解（1）因为分别是的中点，所以．又平面且平面，所以平面．………………..4分(2)因为平面,平面，所以．又，所以平面．又平面，所以平面平面．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分(３)因为平面，所以为直线与平面所成的角．在直角中，，所以．所以．故直线与平面所成的角为．….12分22.如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．

(1)若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；

(2)当=时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．

参考答案：（1）证明：连接BC1

，交B1C于E，连接DE．

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，D是AB中点

∴侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线

∴DE∥AC1

，

又∵DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD．

（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2∴AC⊥BC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz．

则B（3，0，0），A（0，4，0），

A1（0，4，4），B1（3，0，4）．

设D（a，b，0）（a＞0，b＞0），

∵点D在线段AB上，且=，即=

∴a=，b=

∴=（﹣3，0，﹣4），=（，，0）

显然