山西省忻州市河边中学2022年高三数学理模拟试题含解析

山西省忻州市河边中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（理）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱B1C1、AD的中点，直线AD与平面BMD1N所成角的余弦值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知集合，集合，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.函数的图像为(

)

参考答案：【知识点】函数的图象；指数函数的图像与性质．B6

【答案解析】D解析：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D【思路点拨】观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．4.如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】有题目给出的已知条件，用列举法表示出集合B，取交集运算后答案可求．【解答】解：由A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}={﹣5，﹣3，﹣1，1}所以A∩B={﹣1，1}．所以A∩B中元素的个数为2．故选B．6.设等比数列中（

）

A．243

B．81

C．

D．4参考答案：答案：D7.的展开式中x的系数是(

) A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4参考答案：A考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：=，利用通项公式，即可求出的展开式中x的系数．解答： 解：=，∴的展开式中x的系数是+1=﹣3，故选：A．点评：本题考查二项式系数的性质，考查学生的计算能力，比较基础．8.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250参考答案：A考点：分层抽样方法．

专题：概率与统计．分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．解答：解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．9.设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（

）

A.

B．

C．1

D．参考答案：D10.已知，，则“”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量，向量=2，若，那么向量的夹角是

参考答案：略12.定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：1=++++++++++++，其中m，n∈N*，则m+n=

．参考答案：33【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】根据1=++++++++++++，结合裂项相消法，可得+==，解得m，n值，可得答案．【解答】解：∵1=++++++++++++，∵2=1×2，6=2×3，30=5×6，42=6×7，56=7×8，72=8×9，90=9×10，110=10×11，132=11×12，∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，+==﹣+﹣=，∴m=20，n=13，∴m+n=33，故答案为：33【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．13.一个盛满水的无盖三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的

倍参考答案：略14.已知向量_________参考答案：15.双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线E的渐近线上的一点，MF1⊥MF2，sin∠MF1F2=，则该双曲线的离心率为

．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意设M是渐近线y=x上的一点，∠MOF2=2∠MF1F2，求出tan∠MOF2==，可得=，即可求出e===．【解答】解：由题意，设M是渐近线y=x上的一点，∠MOF2=2∠MF1F2，∵sin∠MF1F2=，∴tan∠MF1F2=，∴tan∠MOF2==，∴=，∴e===，故答案为．16.函数的定义域为R，，对任意R，>3，则>3x+4的解集为

.参考答案：【知识点】函数的单调性与导数的关系．L4

【答案解析】

解析：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，∴F（x）在R上是增函数，∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）【思路点拨】构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．17.已知关于x的不等式的解集为全体实数R，则实数a的取值范围是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次．每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投：方案2：都在B处投篮。甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8．

(I)当甲同学选择方案1时．①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率：

②求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望；

(II)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．参考答案：19.(本小题满分12分)如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位:千米).如何设计,可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．参考答案：

当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…12分解法二(构造直角三角形):设∠PMD＝θ,在△PMD中,∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.……………2分此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30°

…………12分解法三:设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN,即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.…………2分因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4.所以AP2≤12,即AP≤2.当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2.

答:设计AM＝AN＝2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………12分 解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN＝2,答:设计AM＝AN＝2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．………12分解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,………4分设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知:AP的最大值为PF＋R.……6分答:设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…12分20.已知等差数列满足：.（1）求的通项公式；（2）若()，求数列的前n项和.参考答案：（I）设的首项为，公差为，则

由得

解得,所以的通项公式

（II）由得.

①当时，=②当时，，得；

所以数列的前n项和略21.学校游园活动有一个游戏项目：箱子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从箱子里摸出3个球，若摸出的是3个红球为优秀；若摸出的2个红球1个白球为良好；否则为合格．（Ⅰ）求在1次游戏中获得优秀的概率；（Ⅱ）求在1次游戏中获得良好及以上的概率．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：把3个红球分别编号1，2，3；2个白球分别编号4，5．列举出从5个球中摸出3个球的所有可能情况．（Ⅰ）获得优秀的摸法只有1种情况，即（123），然后利用古典概型的概率计算公式求概率；（Ⅱ）查出良好的情况个数，求出概率后再运用互斥事件的概率加法公式可求得在1次游戏中获得良好及以上的概率．解答：解：将3个红球编号1，2，3；2个白球编号为4，5．则从5个球中摸出3个球的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）共10种．令D表示在1次游戏中获得优秀的事件，则获得优秀的情况为（123）共一种．E表示在1次游戏中获得良好的事件，则获得良好的情况为（124），（125），（134），（135），（234），（235）共6种．F表示在1次游戏中获得良好及以上的事件．（Ⅰ）P（D）=；（Ⅱ）P（E）=，P（F）=P（D）+P（E）=．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了互斥事件的概率加法公式，是基础的运算题．22.（