（八省联考） 2025年高考综合改革适应性演练 数学（解析版）

第1页/共18页参照机密级管理★启用前2025年高考综合改革适应性演练数学答案及解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集的运算求解即可；【详解】由题意可得.故选：C2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.【详解】依题意，的最小正周期.故选：D3.（）A.2 B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根据复数模的概念直接求解.【详解】由题意：.故选：C4.已知向量，则（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐标运算求解.【详解】，，，.故选：B.5.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.详解】由方程，则，所以渐近线.故选：C.6.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可.【详解】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高，∴圆锥的体积为.故选：A.7.在中，，则的面积为（）A.6 B.8 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可.【详解】设，根据余弦定理，已知，，，代入可得：，即，解得，由于，则为直角三角形，则.故选：C.8.已知函数，若当时，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解.【详解】当，时，，当时，，此时，所以，不满足当时，，故不符合题意；当，时，，解得，由于时，，故，解得；当，时，恒成立，符合题意；当，时，，解得，由于时，，故，解得.综上.故选：B【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（）A.B.C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切D.当时，的面积为【答案】ABC【解析】【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D.【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确；设在上，所以，所以，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；当时,，且，，所以,或舍所以的面积为，D选项错误.故选：ABC.10.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（）A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数 D.【答案】ACD【解析】【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得.【详解】对A：令，则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对B：令，则，由A知，为增函数，又，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对C：，由在上单调递增，且，故是增函数，故C正确；对D：由C知，则，，故，故D正确.故选：ACD.11.下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对A，原图中的圆环无法解开，对BC转化为三叶结问题即可；对D通过绳数即可判断.【详解】对于A选项：原图中的圆环不可解开，则无法无损变为一个圆，无法得到A选项；对于D选项：为三个圆，不是一根绳，无法得到D选项；对于B,C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而BC情形为三叶结变体，则BC至少有一个无法无损伤得到，两者为手性，即镜像（即只能在镜子中相互重叠），再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验可知：可以得到C选项，无法得到B选项.故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函，若，则____________．【答案】【解析】【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案.【详解】由，可得，即，也即，且，，两边取对数得：，解得.故答案为：.13.有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________．【答案】【解析】【分析】先写出基本事件总数，再求出所有卡片上的数字之和，得到抽出的3张卡片上的数字之和应为，列举出和为的3张卡片即可求解.【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为，因为，所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为，则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种，所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个，所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.故答案为：.14.已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则三角形的面积为____________．【答案】【解析】【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案.【详解】由于和都符合，所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增，由此画出曲线的大致图象如下图所示，两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设位置如图，可知，，所以，所以，而和等底等高，面积相同，所以，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性质，确定点的对称关系，这是解决本题的基础.通过对称关系，能够推导出相关线段和三角形之间的等量关系，为后续的面积计算提供依据.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080服用15070220合计250400（1）求，；（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效?附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1），（2）（3）能认为药物对预防疾病有效【解析】【分析】（1）根据列联表求和即可；（2）用频率估计概率，计算即可；（3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可.【小问1详解】由列联表知，；【小问2详解】由列联表知，未服用药物的动物有（只），未服用药物且患疾病的动物有（只），所以未服用药物的动物患疾病的频率为，所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；【小问3详解】零假设：药物对预防疾病无效，由列联表得到，根据小概率值独立性检验，推断不成立，即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.16.已知数列中，（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）令，证明:．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.【小问1详解】由得，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）得,解得：.【小问3详解】令，，因为在上单调递增，则所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，故得.17.已知函数.（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；（2）若是的极小值点，求b的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程；（2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解.【小问1详解】当时，，其中，则，令，化简得，解得（负值舍去），又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，则切线方程为，即.【小问2详解】由题可得定义域为，，因是的极小值点，则，则，若，令，令，则在上单调递增，在上单调递减，得是的极大值点，不满足题意；若，令，令，则在上单调递增，在上单调递减，得是的极大值点，不满足题意；若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；若，令，令，则在上单调递增，在上单调递减，得是的极小值点，满足题意；综上，是的极小值点时，.18.已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1-1,0，（1）求C的方程；（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．【答案】（1）（2）证明见解析（3）点的轨迹是圆，该圆的方程为【解析】【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程；(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点；(3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解.解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到，从而得到点的轨迹和轨迹方程.【小问1详解】因为椭圆左、右焦点分别为F1-1,0，F21,0，所以，又因为椭圆C得，所以椭圆方程.【小问2详解】由，F1-1,0得直线斜率为，中点坐标为0,2，所以线段的垂直平分线方程为，联立垂直平分线方程和椭圆方程得，x=1，，所以直线与椭圆相切，线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；【小问3详解】解法一：设，当时，的垂直平分线方程为，此时或；当时，的垂直平分线方程为，联立，得，即因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，故，即，则，即，，即，，而，也满足该式，故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即.解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P，则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线，也为的角平分线，作的角平分线，根据椭圆的光学性质得，，则，故，所以三点共线，所以，所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，当P在椭圆长轴上时，M点为或也满足，故点的轨迹是圆，该圆的方程为.【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是：(1)首先根据题意得到直线和椭圆方程；(2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程；(3)计算，根据，判断直线与椭圆公共点的个数.19.在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．（i）证明：平面平面；（ii）求球O的半径（2）求二面角的余弦值的最小值.【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为；（2）.【解析】【分析】（1）（i）由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得证；（ii）建立以A为原点空间直角坐标系，设球心，半径，由列方程组即可计算求解.（2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立空间直角坐标系，求平面和平面的一个法向量，由空间向量夹角公式，通过换元结合二次函数的性质求解即得.【小问1详解】在中，由，得，所以，且，即，（i）证明：因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，设球心，半径，则，所以，解得，所以球O的半径为；【小问2详解】在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，则由（1），设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向