随机信号分析课件2

随机信号分析

RandomSignalAnalysis水声工程学院CollegeofUnderwaterAcousticEngineering第二章随机过程

1.随机过程的基本概念及其统计特性

2.平稳随机过程和遍历性过程

3.正态随机过程

本章重点第二章随机过程噪声电压的起伏波形Brownianmotion[2]

交流发电机输出电压其中r和φ为随机振幅和随机相位。单个样本函数为2.1随机过程的基本概念及其统计特性

定义1：设随机试验E的样本空间S＝{ζ},若对每个元素ζ∈S，总有确知的时间函数X(t,ζ),t∈T与它相对应；这样，对于所有的ζ∈S，就可以得到一族时间t的函数，将其称为随机过程。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。特定实验结果一个确知的时间函数定义2：若对于每个特定的时间都是随机变量，则称为随机过程。一个特定时间一个取决于ζ的随机变量定义1定义2常用于对随机过程的实际观测用实验方法观测到各个样本样本数目越多，越能掌握随机过程的统计规律性常用于理论分析可以看成随机变量的推广（n维）随机变量的维数越大，越能掌握随机过程的统计规律性4一个确定值（t和ζ都固定）2

一个确知的时间函数(t是变量，而ζ固定）1

一个时间函数族（t和ζ都是变量）3一个随机变量（t固定，而ζ是变量）随机过程X(t)在四种不同情况下的含义2.1.2随机过程的分类

一、按X(t)的时间和状态是离散还是连续进行分类1、连续型随机过程－－任意的都是连续型随机变量；2、离散型随机过程－－任意的都是离散型随机变量；3、连续随机序列－－任意离散时刻的状态是连续型随机变量；4、离散随机序列－－随机过程的时间和状态都是离散的。二、按随机过程的样本函数的形式不同进行分类1、不确定性随机过程－－样本函数的未来值不能由过去的观测值准确预测；2、确定性随机过程－－样本函数的未来值可以由过去的观测值预测。三、按随机过程X(t)的的分布函数或概率密度的不同特性分类1、正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程2、平稳性过程、遍历性3、宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声2.1.3随机过程的概率分布时刻采样，得到一族随机变量不同采样时刻的概率密度函数

将对随机变量的研究推广到随机过程中去。一、一维概率分布随机过程在任一特定时刻取样得到随机变量，其概率分布为称作随机过程X(t)的一维分布函数。求偏导数数可得称作随机过程X(t)的一维概率密度。随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量的一维分布函数和一维概率密度的各种性质；随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间t的函数；随机过程的一维分布函数和一维概率密度描述该随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性。二、二维概率密度随机过程X(t)的二维分布函数为

随机过程X(t)的二维概率密度为三、n维概率分布随机过程X(t)的n维分布函数为随机过程X(t)的n维概率密度为

随机过程X(t)的n维分布函数的主要性质：5、4、3、2、1、6、如果统计独立，则有全局特征N维概率密度二维概率密度一维概率密度自相关函数功率谱密度均值方差高阶矩高阶谱高阶矩局部特征2.1.4随机过程的数字特征

2.1.4随机过程的数字特征

在实际应用中，要确定随机过程的概率分布族，并加以分析，常比较困难；随机变量的数字概念推广到随机过程中去；随机过程数字特征通常不再是确定数值，而是确定的时间函数。一、数学期望随机过程X(t)在任意一个时刻t的取值是一个随机变量X(t)，将其任意取值x(t)简计为x，由随机变量的数学期望定义可得为时间的确定函数，称为随机过程的数学期望。二、均方值和方差随机变量X(t)的二阶原点矩为随机过程X(t)的均方值。

随机过程X(t)的数学期望

随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程X(t)的方差。为中心化随机过程。均方值和方差都是t的确定函数；方差描述了诸样本对于其数学期望的偏离程度；二、自相关函数随机过程的自相关函数定义为相关函数反映了X(t)在任意两个时刻的状态之间的线性相关程度。当时α-相依过程如果随机过程X(t)的自相关函数满足则称X(t)是相关α-相依的。具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程

随机过程的协方差函数为

协方差函数描述了在任意两个时刻的起伏值之间的相关程度。协方差函数与相关函数之间的关系：

当时，有

推导可得数学期望和相关函数是随机过程两个最基本的数字特征，其它数字特征都可以通过二者间接求得。【例题】分析正弦型随机相位信号

解：2.1.5随机过程的特征函数

概率密度和特征函数是一对傅立叶变换。利用特征函数可以简化运算。一、一维特征函数称为随机过程X(t)的一维特征函数。一维特征函数的傅立叶反变换为随机过程X(t)的n阶原点矩函数为二、二维随机过程

随机过程X(t)的相关函数可表示为三、随机过程的n维特征函数称为随机过程X(t)的n维特征函数。

称为随机过程X(t)的二维特征函数。其傅立叶反变换为傅立叶反变换为

2.2.2随机过程相等

[1]

随机过程X(t)、Y(t)的所有样本函数皆相同，则称两个随机过程（处处）相等。

如果则称随机过程X(t)、Y(t)在均方意义下相等。2.2.3 随机过程的微分及其数学期望与相关函数随机过程X(t)的导数通常意义下的导数——每个样本函数都存在均方意义下的导数——均方（m.s.）导数

设Y(t)为可微过程X(t)的导数，其数学期望为Y(t)的相关函数2.2.4 随机过程的积分及其数学期望与相关函数对于给定的实随机过程X(t)，我们构成积分

若对过程X(t)的每个样本函数X(t,ζ)，在黎曼意义下此积分存在，则相应于每个试验结果ζ，积分都可得到一个数Y(ζ)；但是对不同的ζ，积分值Y(ζ)也是不同的，故对所有试验结果，Y是一个随机变量。也就是说，过程X(t)在确定区间[a,b]上的积分Y是一个随机变量。而对过程的每一个样本来说，此积分是通常意义下的积分。若则称随机变量为过程X(t)在确定区间[a,b]上的均方积分。相关函数数学期望2.3平稳性随机过程和遍历性过程2.3.1平稳随机过程

一、严平稳随机过程及其数字特征1、严平稳随机过程的定义设有随机过程X(t)，若它的n维概率密度不随时间起点的选择的不同而改变，即对于任何的n和ε，过程X(t)的n维概率密度满足则称X(t)为严平稳随机过程或狭义平稳过程。严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。2、严平稳随机过程的一、二维概率密度及数字特征（1）若X(t)是严平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关令可得

进一步可求得均值均方值方差（2）严平稳随机过程二维概率密度只与t1、t2的时间间隔有关，而与时间起点无关。令可得这时过程X(t)的自相关函数为协方差函数为当t1＝t2，即τ＝0时二、宽平稳随机过程满足则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征；严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平稳的，反之不一定成立；正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。【例题】设随机过程式中，a、ω0皆为常数，Φ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。试问：X(t)是否是平稳的随机过程？为什么？解：随机变量Φ的概率密度为X(t)的均值X(t)的自相关函数【例题】其中X(t)平稳过程，ω0是确定量，相位Φ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。Φ与X(t)统计独立。试讨论Y(t)的平稳性。解：Y(t)的均值为Y(t)的相关函数因此Y(t)具有平稳性。故X(t)为宽平稳随机过程。2.3.2遍历性过程

一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻取值，用统计方法到数字特征。这种方法成为统计平均或集合平均，也简称为集平均。辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就从概率意义上趋近于此过程的统计均值。任何一个样本函数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。具有遍历性的随机过程X(t)

二、遍历性的实际意义任一样本函数的时间平均可以代替整个过程的统计平均；遍历过程的一、二阶距函数具有明确的物理意义；电压信号直流分量总平均功率交流平均功率电压有效值

不具备遍历性的平稳过程2、平稳随机过程X(t)的均值具有遍历性的充要条件为证明：是随样本函数不同而变化的随机变量，其数学期望为对于平稳过程X(t)，可得的方差为变量替换可得由X(t)的遍历性可得

由切比雪夫不等式即，依概率收敛于。因由方差性质可知，依概率1成立。3、自相关函数的遍历性定理。平稳随机过程X(t)的自相关函数具有遍历性的充要条件为

令，就可得到均方值具有遍历性的充要条件。4、对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为【例题】随机过程其中A和Φ是相互独立的随机变量，A在(0,1)上均匀分布，Φ在(0,2π）上均匀分布。随机过程X(t)是否具有遍历性？解：首先判断X(t)是否具有平稳性

可得随机过程X(t)均值具有遍历性。时间相关函数为因此随机过程不具有遍历性。2.3.3平稳随机过程相关函数的性质一、平稳随机过程自相关函数的性质12证：3证：正函数的数学期望恒为非负值，即在零点以外也可能有最大值4周期平稳随机过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。5若平稳随机过程含有一个周期分量，则自相关函数也含有一个同周期的周期分量。6平稳随机过程中不含有任何周期分量，则

证：

证：

7若平稳过程含有平均分量（均值），则相关函数也将含有平均分量，且等于均值的平方，即8平稳随机过程的自相关函数必须满足二、平稳过程的相关系数和相关时间

1相关系数rX(τ)τrX(τ)τ2相关时间定义1相关系数由其最大值1下降到0.05所经历的时间间隔，计做相关时间。定义2矩形面积等于阴影面积来定义相关时间。rX(τ)τ10.05τ0τ0【例题】已知平稳随机过程X（t）的自相关函数为

求均值、均方差和方差。解：2.4随机过程的联合概率分布和互相关函数2.4.1两个随机过程的联合概率分布

随机过程X(t)和Y(t)的多维概率密度分别为

定义两个随机过程的多维联合分布函数为定义两个随机过程多维联合概率函数为

如果则称随机过程是相互独立的。如果两个随机过程的联合概率密度不随时间变化，即与时间起点无关，则称此过程为联合严平稳或严平稳相依过程。2.4.2互相关函数

互相关函数的定义为互协方差函数定义为

如果两个宽平稳随机过程则称随机过程X(t)和Y(t)为联合宽平稳或宽平稳相依。宽平稳随机过程的互相关函数的性质：1、

随机过程正交随机过程的不相关互相关函数与互协方差存在如下关系2、3、4、归一化相关函数或标准互协方差函数

时间互相关函数定义为如果称过程X(t)和Y(t)具有联合宽遍历性。例题：设两个连续时间相位随机信号其中为常数，在上均匀分布，求互协方差函数。解：这两个过程的均值为零，都是宽平稳的。即过程X(t)和Y(t)在某些时刻是正交的、不相关的。但两者并不独立。因此是联合平稳的。2.5复随机过程2.5.1复随机变量

复随机变量定义为数字特征推广到复随机变量时必须遵循的原则是：在特殊情况下，即当Y＝0时，Z的数字特征应该等于随机变量X的数字特征。复随机变量的数学期望复随机变量的方差复随机变量Z1和Z2的相关矩两个随机变量独立

Z1

和Z2相互独立

两个随机变量不相关

Z1和Z2不相关两个随机变量正交

Z1和Z2正交2.5.2复随机过程

复随机过程的定义其概率密度为其数学期望为

其自相关函数为和协方差函数

平稳复随机过程其方差为

复平稳随机过程的互相关函数和互协方差函数复平稳随机过程的不相关复平稳随机过程的正交

2.6正态随机过程2.6.1正态随机过程的一般概念

正态随机过程X(t)的n维概率密度为

式中是n维向量，是n维矩阵。

正态随机过程的n维概率密度只取决于其一、二阶矩函数——数学期望、方差和相关系数。n维概率密度为2.6.2平稳正态随机过程

若正态随机过程X(t)

此正态随机过程称为广义平稳正态随机过程。2.6.3正态随机过程的性质

1、正态随机过程的n维概率密度完全取决于它的均值集合和协方差函数集合。2、正态过程的宽平稳与严平稳等价。3、如果正态随机过程X(t)在n个不同时刻采样，所得一组随机变量为两两互不相关，即

则，这些随机变量也是相互独立的。证明：X(t)的n维概率密度为4、平稳正态随机过程X(t)与确定性信号之和的概率分布仍为正态分布。证明：s(t)的概率密度可以表示为Y(t)的一维概率密度为故合成信号的一维概率密度也是正态的。同理，合成信号的二维概率密度为合成信号的一维概率密度也是正态的。n维概率密度也是正态的。5、若为n维正态随机变量，又均方收敛于即对每个i有则X也是正态分布的随机矢量。6、若正态随机过程在T上是均方可微的，则也是正态过程。7、若正态随机过程在T上是均方可积的，则是正态随机过程。【例题】设随机过程A与B是两个独立的正态随机变量。且E[A]=E[B]=0，而为常数。求此过程的一、二维概率密度。解：正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量；正态随机变量的概率密度只由均值和协方差确定。

X(t)的均值为

X(t)的相关函数为因为X(t)的均方值和均方差为因此，X(t)为平稳随机过程。一维概率密度为为求二维概率密度只要再求相关系数X(t)的二维概率密度为所以本章小结随机过程的基本概念及其统计特性－－－定义、分类、概率分布、数字特征平稳随机过程和遍历性过程－－－平稳性、遍历性、自相关函数的性质随机过程的联合概率分布和互相关函数－－－联合概率分布、互相关函数复随机过程－－－复随机过程定义、数字特征、相关函数正态随机过程－－－正态平稳随机过程的平稳性、性质随机过程习题习题2-6：设随机过程X(t)其中ω0为常数，；A与B是相互独立的正态随机变量，且有E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2。试求X（t）的均值与自相关函数。习题2-13：已知随机过程X(t)和常数a，试以X（t）的自相关函数表示出另一随机过程Y（t）=X（t+a）-X（t）的自相关函数。习题2-21：已知随机过程X(t)其中ω0为常数，；A与Θ是相互独立的随机变