导数大题题型分类

导数大题题型分类答案题型一：直接法分类讨论1.已知函数，.（1）若，求在上的最小值；（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以在上单调递增，故.（2）由题意，，①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，故，不合题意；②当时，，所以当时，，从而在上单调递增，又，所以当时，，从而在上不能恒成立，不合题意；③当时，对任意的，，所以，从而在上单调递减，结合知恒成立，满足题意；综上所述，实数a的取值范围为.2．已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒有，求a．【解析】（1）因为，当时，对任意都有，函数的单调增区间为当时，由，得，时，，时，，所以函数的单调增区间为，单调减区间为．综上，当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）因为对任意恒有，所以设，根据题意，对任意，要求，，①当时，，时，，为上单调增函数，所以时，，时，，为上单调减函数，所以时，，此时，对任意恒有；②当时，由得，，时，，为上单调增函数，因为，所以，不符题意；③当时，由得，，时，，为上单调减函数，因为，所以，不符题意；④当时，对任意都有，为R上单调减函数，所以时，，不符题意；综上，当时，对任意恒有．题型二.导数恒成立之参变分离：3.已知函数，.（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题知的定义域为.又，则.又因为，所以切点为.所以，解得.（2）当时，.当时，不等式恒成立即不等式，恒成立.设，，则.因为，所以.所以在上单调递减，从而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范围为.4．已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若在上有两个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，所以，所以，，所以曲线在点处的切线方程，即.（2）由题意知：在上有两个零点，显然，由，得，令，则，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，又，时，，故当在上有两个零点时，，所以，所以实数的取值范围为.题型三.隐零点问题5．已知函数．（1）若函数，讨论在的单调性；（2）若，对任意恒成立，求整数k的最大值．【解析】（1）因为，令，则．所以函数在单调递增，从而，所以．由，得；由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）因为，对任意恒成立，所以．令，则，所以在R上单调递增，又，，所以存在唯一的，使得，又，由（1）知当时，，所以，所以存在唯一的，使得，即．当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增，所以，，，又，所以k的最大值为．6,已知函数(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值;(2)3【解析】(1)函数的定义域为，由，令可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴

函数的递增区间为，递减区间为，函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值(2)当时，不等式可化为，设，由已知可得，又，令，则，∴

在上为增函数，又，，∴存在，使得，即当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴

，∴

，∴m的最大值为3.7．已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若对任意，都有恒成立，求整数a的最大值.【解析】（1）当时，，定义域为，注意到当时，单调递增，当时，单调递减。∴的单调递增区间为，递减区间为，在时取得极大值且极大值为，无极小值.（2）原不等式恒成立，变形有，∵x>1即在恒成立.设原问题等价于，，令，则，在单调递增，，由零点存在定理有在存使即，当时，单调递减，当时，单调递增，利用，，，的最大值为4.题型四：利用导数求解函数的最值8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【详解】（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.9.已知函数.(1)若，求的极值；(2)求在区间上的最小值.【答案】(1)极大值，极小值；(2)答案见解析.【详解】（1）由题设且，则，当或时，当时，故在、上递增，在上递减，所以极大值，极小值.（2）由，当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，故上最小值为；当时，在上，即在上递增，故上最小值为；当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，若，上最小值为；若，上最小值为；若，上最小值为；综上，时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为.题型五零点问题10.已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究【详解】（1）的定义域为当时,,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为（2）设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在,使得,即当单调递减当单调递增所以当,令则所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，，所以在上有唯一零点又没有零点,即在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减，当，，又，而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.11.已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.[方法二]：构造差函数由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．构造函数，求导数得．当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．由于，当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．所以，实数a的取值范围为．[方法三]分离法：一曲一直曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．①当时，与只有一个交点，不符合题意．②当时，取上一点在点的切线方程为，即．当与为同一直线时有得直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有．综上所述，实数a的取值范围为．[方法四]：直接法．因为，由得．当时，在区间内单调递减，不满足题意；当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．故实数a的范围为．]【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.题型六极值点偏移12．已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．【分析】（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解；（2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.【详解】（1）因为，所以1不