山西省忻州市曹张乡办中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省忻州市曹张乡办中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用，利用向量的数量积，即可得到结论．【解答】解：求导数可得f′（x）=6x2+6||x+6，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在实数集R上单调递增，可得f′（x）=6x2+6||x+6≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判别式△=2﹣4≤0恒成立，再由，可得8||2≤8||2cos＜，＞，∴cos＜，＞≥，∴＜，＞∈[0，]，故选：C．2.是虚数单位，复数=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.已知a，b都是实数，p：直线与圆相切；q：，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，即.充分性：若直线与圆相切，则，充分性不成立；必要性：若，则直线与圆相切，必要性成立.故是的必要不充分条件.故选B.

4.在中，若，则的形状为

（

）A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形参考答案：D5.复数（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略6.数列满足：，则数列前项的和为A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和因为，所以

所以数列是以2为公差的等差数列，所以

所以所以

所以数列前项的和

故答案为：A7.已知圆的方程圆心坐标为(5,0)，则它的半径为（

）A．3

B． C．5

D．4参考答案：D8.已知不等式组（其中）表示的平面区域的面积为4，点在该平面区域内，则的最大值为(

)（A）9

（B）6

（C）4

（D）3参考答案：D由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积，解得，故选D.9.已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且,求

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2016秋?天津期中）设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：[2﹣2ln2，1]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，∴g（x）min=g（2）=2﹣2ln2，令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±，当0＜a≤1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min=f（1）=a≥2﹣2ln2，∴2﹣2ln2≤a≤1，故答案为[2﹣2ln2，1]．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，转化为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x）min≥g（x）min．12.已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则

.参考答案：答案：213.如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则 ．参考答案：30o14.为说明“已知，对于一切那么。”是假命题，试举一反例为

参考答案：答案：如

15.如图，各条棱长均为2的正三棱柱中，M为的中点，则三棱锥的体积为__________．参考答案：略16.(坐标系与参数方程选做题)已知圆的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标为

.

参考答案：（1，2）17.已知函数，对于上的任意有如下条件：①；②；③；其中能使恒成立的条件序号是

。参考答案：②

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的值域．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间[0，]上的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x=cos2xcos﹣sin2xsin+cos2x+1=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，故函数的最小正周期为=π，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，求得kπ﹣≤x≤kπ+，求得函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（2x﹣+）+1=cos（2x﹣）+1的图象，在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[﹣，1]，g（x）∈[，2]．19.已知函数f（x）=ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；（Ⅱ）由（I）可得f（x）max=+ln（e﹣1）＜0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需﹣≤，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）=a+=，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）=0得x=1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a=时，f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（e，+∞），所以f（x）max=f（e）=+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）=恒成立，当x=e时取等号．令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．【点评】本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．20.数列中，，其中是函数的一个极值点．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，数列的前项和为，求．参考答案：（Ⅰ）证明：，根据已知，即，即，

，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由于（Ⅰ）可知．所以．所以数列的通项公式．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，所以．，则，

所以，所以．略21.已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，kAM?kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得kAM?kBM===﹣，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数﹣．【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，∴p的值；（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，∴kAM?kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=，kAM?kBM