山西省忻州市芳兰学校2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省忻州市芳兰学校2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题为复合命题的是（

）

A．12是6的倍数

B．12比5大

C．四边形ABCD不是矩形

D．参考答案：C2.已知与夹角θ=120°，则向量在向量上的投影为（）A．﹣2 B．2 C． D．参考答案：A【考点】向量的投影；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．【解答】解：，上的投影为，故选A．3.设分别是椭圆的左、右焦点，与直线相切的交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与的切点，则椭圆的离心率为A. B. C. D.参考答案：C因为直线与圆相切，所以圆的半径为。因为E，E恰好是直线EF1与的切点，所以三角形为直角三角形，所以。所以根据勾股定理得，即，整理得，所以，。得到，即，所以椭圆的离心率为，选C.4.（5分）（2006?山东）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】：计算题；综合题；压轴题．【分析】：判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积．解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C．【点评】：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．5.已知向量，的夹角为，且，，则=（）A． B．61 C． D．7参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】可求出，进而求出，从而可求出的值，这样即可得出的值．【解答】解：，且；∴；∴=25+20+16=61；∴．故选A．6.函数定义域为A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知函数的图象恒在直线y=-2x的下方，则实数a的取值范围是 A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为2，则（

）若确定，则唯一确定

若确定，则唯一确定若确定，则唯一确定

若确定，则唯一确定参考答案：B略9.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象(

)A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．10.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式的展开式中x的系数为10，则a=________．参考答案：±1【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，求出x的指数为1时的系数，即可求出常数a的值．【详解】解：二项式的展开式的通项为；则当，即时，二项式的展开式中x项的系数为：，即，．故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理的知识，熟记二项展开式的通项是解题的关键.12.设是周期为2的奇函数，当时，，则

。参考答案：13.从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得（为整数集）的概率为

．参考答案：略14.若，则的值为____________参考答案：试题分析：由诱导公式，得，，故答案为考点：1、诱导公式的应用；2、倍角公式的应用．15.如图，在△ABC中，，D是边BC上一点，，则．参考答案：【详解】由图及题意得

，

=

∴

=(

)(

)=

+

=

=

.16.(不等式选讲)若实数满足，则的最大值是

.

参考答案：略17.已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则=． 参考答案：【考点】向量在几何中的应用． 【专题】计算题． 【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有已知给定图形的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向45°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． 则=（1，0），=（0，）， ∴=m+n =（m，n）， ∴tan45°==1， ∴=． 故答案为：． 【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：

第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩8287868090乙的成绩7590917495（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．参考答案：【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）解法一：求出，答案一：从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：通过乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．）解法二：求出甲摸底考试成绩不低于90的概率，乙摸底考试成绩不低于90的概率，然后决定选谁合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．列出这5次摸底考试中任意选取2次所有情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”的情况个数然后求出概率．【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．19.（本小题满分12分）设数列为等比数列，且满足（其中）。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）已知，记，求。参考答案：20.设函数=-，直线与函数图象相邻两交点的距离为。求的值。在中，角所对的边分别是，若点是函数图像的一个对称中心，且，求面积的最大值。参考答案：略21.已知函数.（1）当时，比较f(x)与0的大小，并证明；（2）若f(x)存在两个极值点，证明：.参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)将a=2代入表达式，对函数求导得到函数的单调性，函数零点，进而得到结果；（2）对函数求导得到是方程的两根，由韦达定理得，又因为进而得到结果.【详解】（1）当时，，则所以函数在上单调递减，且所以当时，；当时，当时，.（2）函数，则当时，在上恒成立，即在不存在极值，与题意不符，所以又是方程的两根，不妨设，由韦达定理得又在区间上递增，且，所以，即.【点睛】这个题目考查了函数的极值点的概念，函数极值点即导函数的变号零点，即导函数在零点附近的函数值符号相反.22.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可证明．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可．解答：（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO．从而，在△PDO中，∵PO=2，∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，又PO，AB?平面PAB，PO∩AB=O，∴CO⊥平面PAB．故CO⊥PD．∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD．（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），