山西省忻州市芳兰学校2023年高三数学理月考试卷含解析

山西省忻州市芳兰学校2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中在区间上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2.已知函数y＝f(x)为偶函数，满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝，则的值等于（

）A.-1

B.

C.

D.1参考答案：D3.设

（

）

A．B．

C．

D．-参考答案：A4.函数＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x-y＋2＝0平行，若数列

｛｝的前n项和为Sn，则S2015＝（）

A、1B、C、D、参考答案：D【知识点】数列的求和；二次函数的性质．B5D4

解析：f′（x）=2x+b，由直线3x﹣y+2=0可知其斜率为3，根据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，从而数列{}的通项为，所以S2015==，故选：D．【思路点拨】由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{}的通项公式，计算可得答案．5.若圆与曲线的没有公共点，则半径的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C只需求圆心（0，1）到曲线上的点的最短距离，取曲线上的点，，距离所以，若圆与曲线无公共点，则0＜r＜．6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A. B.2 C. D.参考答案：A【分析】先根据三视图确定几何体，再根据锥体体积公式得结果.【详解】由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥的底面为俯视图三角形，面积为，棱锥的高h=1，∴棱锥的体积．故选：A．【点睛】本题考查三视图以及锥体体积公式，考查基本分析判断能力，属基础题.7.设实数x，y满足不等式，则的最小值是（

）A．－1

B．

C.2

D．参考答案：B作出可行域如下图所示：设，则只需求的最小截距，平移直线，当直线经过点时，的截距最小，此时，故选B.

8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．9.已知△的一个内角是，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D由△三边长构成公差为4的等差数列，设△的三边长分别为，，，

因为△的一个内角是，所以，

化简得，解得（舍）或。因此△的的面积，故选择D。10.（多选题）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（

）A.平均数B.平均数且标准差C.平均数且极差小于或等于2D.众数等于1且极差小于或等于4参考答案：CD【分析】通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项．【详解】解：A错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数，不符合指标.B错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数，且标准差，不符合指标C对，若极差等于0或1，在的条件下，显然符合指标；若极差等于2且，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选：.【点睛】本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线过椭圆的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为

．参考答案：12.设的内角所对的边为；则下列命题正确的是

①若；则

②若；则

③若；则

④若；则

⑤若；则参考答案：①②③①

②

③当时，与矛盾

④取满足得：

⑤取满足得：13.若对任意满足不等式组的、，都有不等式x－2y＋m≤0恒成立，则实数m的取值范围是____________．参考答案：14.已知，，则

．参考答案：15.已知向量=（x，1）在=（1，）方向上的投影为，则x=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的坐标计算以及几何意义，得到所求．【解答】解：由已知得到=x+，向量=（x，1）在=（1，）方向上的投影为，设α为两个向量的夹角，则，所以，解得x=；故答案为：．16.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五张四尺，深一丈八尺.问受栗几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面周长为五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米

斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率）参考答案：270017.图1是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

参考答案：64略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m，n，∠PCM=x，且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．参考答案：【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC，再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值；（Ⅱ）根据直角三角形中的边角关系，求出m、n，写出f（x）的解析式，利用三角函数求出f（x）的最大值以及对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，A=，a=bcosC，∴sinA=sinBcosC，即sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0；又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，∴B=，C=；（Ⅱ）△ABC的外角∠ACD=π﹣=，PC=2，且PM⊥CA，PN⊥CD，PM=m，PN=n，∠PCM=x，；∴m=2sinx，n=2sin（﹣x），∴f（x）=mn=4sinxsin（﹣x）=4sinx（sincosx﹣cossinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1；∵＜x＜，∴＜2x＜π，∴＜2x﹣＜，∴sin（2x﹣）≤1，∴f（x）≤2+1=3，当2x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值3．【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．19.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD,，，E是BD的中点.（Ⅰ）求证：EC//平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角的的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，∵E是BP的中点，∴EF//AB且，又∵∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD……2分又∵EC平面PAD，FD平面PAD∴EC//平面ADE…………4分（Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA＝PD，所以PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD

∴PH⊥面ABCD

∴HB是PB在平面ABCD内的射影∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角…………6分

∵四边形ABCD中，

∴四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在中,易得,，又∵，∴是等腰直角三角形，∴∴在中，…………10分(Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a…………11分，又∴，在中，

∴二面角P-AB-D的的正弦值为…………15分

略20.（12分）在中，若，且的重心在轴负半轴上，求实数的取值范围．参考答案：解析：依题意得：

（2分）由（1）得： （6分）

由（2）得：

（8分）

（11分）即的取值范围是

（12分）21.如图，在直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，侧棱AA1=3，AB=3，BC=，E为AB的中点且CE⊥A1E。

（1）求证：平面A1EC⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角E—A1C—B1的大小。

参考答案：

（1）证明：直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中AA1⊥面ABCD

EC面ABCD

∴AA1⊥EC

又A1E⊥EC

且AA1∩A1E=A又EC⊥面A1EC∴面A1EC⊥面ABB1A1

………………（4分）（3）过F作FG⊥A1C，连结B1G，则B1G⊥A1C（三垂线定理）∴∠B1GF为二面角E—A1C—B1的平面角在Rt△A1FB1中，A1B1=2，∴A1F=2·=又△A1FG:△A1EC

∴又在Rt△B1FG中，∴二面角E—A1C—B1的大小为：