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文档简介
山西省忻州市楼板寨乡中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若,则an+1-an=(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D2.已知定义域为上的函数满足,当时,单调递增,如果,且,则的值
A.可能为0
B.恒大于0
C.恒小于0
D.可正可负参考答案:C略3.向量=(2,3),⊥,||=,则等于()A.(﹣2,3) B.(﹣3,2) C.(3,﹣2) D.(﹣3,2)或(3,﹣2)参考答案:D【考点】平面向量数量积的运算.【分析】设向量=(x,y),根据平面向量垂直的定义和模长公式,列出方程组求出解即可.【解答】解:设向量=(x,y),∵=(2,3),⊥,||=,∴,解得或;∴=(﹣3,2)或(3,﹣2).故选:D.4.已知函数的导函数为,且满足关系式,则的值等于(
)A.2
B.
C.
D.参考答案:D略5.若直线与圆相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:答案:A解析:如图,直线过定点(0,1),6.在R上定义运算,若成立,则x的取值范围是(
)
A.(-4,1) B.(-1,4)
C.
D.参考答案:A7.设上以点为切点的切线倾斜角为(
)A.arctan2 B.π-arctan2 C.450 D.1350参考答案:D8.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=(
)A.
1B.
2C.3D.5参考答案:A9.若角α的终边过点(﹣1,2),则cos(π﹣2α)的值为(
)A. B.﹣ C. D.﹣参考答案:A【考点】任意角的三角函数的定义.【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值,再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos(π﹣2α)的值.【解答】解:∵角α的终边过点(﹣1,2),∴cosα=,则cos(π﹣2α)=﹣cos2α=﹣(2cos2α﹣1)=1﹣2cos2α=1﹣=,故选:A.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.10.已知双曲线,过点作直线,使与有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线共有(
)A.4条
B.3条C.2条
D.1条参考答案:答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.14.在空间给出下列五个命题:①如果两条直线、分别平行于直线,则∥;②如果直线与平面内的一条直线平行,则∥;③如果直线与平面内的两条直线都垂直,则⊥;④如果平面内的两条直线都平行于平面,则∥;⑤如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则⊥
其中是真命题的是_____________(将所有真命题的序号填上)参考答案:答案:(1)(5)
解析:(考查空间线面之间的平行垂直关系)解:只有(1)(5)是真命题12.过原点且倾斜角为的直线被圆所截的弦长为_________参考答案:略13.设函数,,其中,为常数,已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线l。(1)求的值,并写出切线l的方程;(2)若方程有三个互不相同的实根0、、,其中,且对任意的,恒成立,求实数m的取值范围。参考答案:解:(Ⅰ) 由于曲线在点(2,0)处有相同的切线, 故有由此得 所以,切线的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以 依题意,方程有三个互不相同的实数, 故是方程的两相异的实根。 所以 又对任意的成立, 特别地,取时,成立,得 由韦达定理,可得 对任意的 则 所以函数的最大值为0。 于是当时,对任意的恒成立, 综上,的取值范围是
略14.若复数是纯虚数,则实数等于______.参考答案:
略15.
有下列命题:①函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于轴对称;②若函数f(x)=,则,都有;③若函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则f(-2)>f(a+1);④若函数(x∈),则函数f(x)的最小值为.其中真命题的序号是
.参考答案:②④16.函数,若互不相同,且,则的取值范围是___________;参考答案:(32,35)17.从中随机选取一个数,从中随机选取一个数,则关于的方程有两个虚根的概率是
▲
.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.数列{an}的各项均为正数,且an+1=an+﹣1(n∈N*),{an}的前n项和是Sn.(Ⅰ)若{an}是递增数列,求a1的取值范围;(Ⅱ)若a1>2,且对任意n∈N*,都有Sn≥na1﹣(n﹣1),证明:Sn<2n+1.参考答案:【考点】8H:数列递推式;8E:数列的求和.【分析】(I)由a2>a1>0?﹣1>a1>0,解得0<a1<2.又a3>a2>0,?>a2,?0<a2<2?﹣1<2,解得1<a1<2.可得:1<a1<2.下面利用数学归纳法证明:当1<a1<2时,?n∈N*,1<an<2成立即可.于是an+1﹣an=﹣1>0,即an+1>an,满足{an}是递增数列,即可得出a1的取值范围.(II)a1>2,可用数学归纳法证明:an>2对?n∈N*都成立.于是:an+1﹣an=﹣1<2,即数列{an}是递减数列.在Sn≥na1﹣(n﹣1)中,令n=2,可得:2a1+﹣1=S2≥2a1﹣,解得a1≤3,因此2<a1≤3.下证:(1)当时,Sn≥na1﹣(n﹣1)恒成立.事实上,当时,由an=a1+(an﹣a1)≥a1+(2﹣)=.累加求和即可证明.再证明:(2)时不合题意.事实上,当时,设an=bn+2,可得≤1.由an+1=an+﹣1(n∈N*),可得:bn+1=bn+﹣1,可得=≤≤.于是数列{bn}的前n和Tn≤3.故Sn=2n+Tn<2n+3=na1+(2﹣a1)n+3,令a1=+t(t>0),可得:Sn<na1﹣.这与Sn≥na1﹣(n﹣1)恒成立矛盾.【解答】(I)解:由a2>a1>0?﹣1>a1>0,解得0<a1<2,①.又a3>a2>0,?>a2,?0<a2<2?﹣1<2,解得1<a1<2,②.由①②可得:1<a1<2.下面利用数学归纳法证明:当1<a1<2时,?n∈N*,1<an<2成立.(1)当n=1时,1<a1<2成立.(2)假设当n=k∈N*时,1<an<2成立.则当n=k+1时,ak+1=ak+﹣1∈?(1,2),即n=k+1时,不等式成立.综上(1)(2)可得:?n∈N*,1<an<2成立.于是an+1﹣an=﹣1>0,即an+1>an,∴{an}是递增数列,a1的取值范围是(1,2).(II)证明:∵a1>2,可用数学归纳法证明:an>2对?n∈N*都成立.于是:an+1﹣an=﹣1<2,即数列{an}是递减数列.在Sn≥na1﹣(n﹣1)中,令n=2,可得:2a1+﹣1=S2≥2a1﹣,解得a1≤3,因此2<a1≤3.下证:(1)当时,Sn≥na1﹣(n﹣1)恒成立.事实上,当时,由an=a1+(an﹣a1)≥a1+(2﹣)=.于是Sn=a1+a2+…+an≥a1+(n﹣1)=na1﹣.再证明:(2)时不合题意.事实上,当时,设an=bn+2,可得≤1.由an+1=an+﹣1(n∈N*),可得:bn+1=bn+﹣1,可得=≤≤.于是数列{bn}的前n和Tn≤<3b1≤3.故Sn=2n+Tn<2n+3=na1+(2﹣a1)n+3,③.令a1=+t(t>0),由③可得:Sn<na1+(2﹣a1)n+3=na1﹣﹣tn+.只要n充分大,可得:Sn<na1﹣.这与Sn≥na1﹣(n﹣1)恒成立矛盾.∴时不合题意.综上(1)(2)可得:,于是可得=≤≤.(由可得:).故数列{bn}的前n项和Tn≤<b1<1,∴Sn=2n+Tn<2n+1.19.已知函数,.
(1)求的极值;(2)设,函数在区间(2,3)上不是单调函数,求实数的取值范围;(3)当时,若对任意的,恒成立,求的最小值.参考答案:
略20.(本小题满分12分)已知数列{an}满足,an+1+an=4n-3(n∈N*).(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn;参考答案:解:(1)若数列{an}是等差数列,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.由an+1+an=4n-3,得(a1+nd)+[a1+(n-1)d]=4n-3,即2d=4,2a1-d=4-3,解得,d=2,a1=-.………….4分(2)由an+1+an=4n-3,得an+2+an+1=4n+1(n∈N*).两式相减,得an+2-an=4.所以数列{a2n-1}是首项为a1,公差为4的等差数列[,数列{a2n}是首项为a2,公差为4的等差数列,由a2+a1=1,a1=2,得a2=-1.所以an=
………8分①当n为奇数时,则an=2n,an+1=2n-3.所以Sn=a1+a2+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an
=1+9+…+(4n-11)+2n=.…………10分②当n为偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=1+9+…+(4n-7)=.所以Sn=………..12分21.(本小题满分13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.参考答案:(Ⅰ);(Ⅱ)【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的综合应用解析:(Ⅰ)由题意知,,则,,
所以.所以椭圆的方程为.
………4分
(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知;
……………5分
②当两弦斜率均存在且不为0时,设,,
且设直线的方程为,
则直线的方程为.
将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得,所以.
……………8分同理,.
…………9分
所以
,当且仅当时取等号
……11分∴综
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