山西省忻州市楼板寨乡中学2023年高三数学理月考试题含解析

山西省忻州市楼板寨乡中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则an＋1－an=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知定义域为上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值

A．可能为0

B．恒大于0

C．恒小于0

D．可正可负参考答案：C略3.向量=（2，3），⊥，||=，则等于（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量=（x，y），根据平面向量垂直的定义和模长公式，列出方程组求出解即可．【解答】解：设向量=（x，y），∵=（2，3），⊥，||=，∴，解得或；∴=（﹣3，2）或（3，﹣2）．故选：D．4.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：D略5.若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：A解析：如图，直线过定点（0，1），6.在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（

）

A．（-4,1） B．（-1,4）

C．

D．参考答案：A7.设上以点为切点的切线倾斜角为（

）A．arctan2 B．π-arctan2 C．450 D．1350参考答案：D8.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=(

)A.

1B.

2C.3D.5参考答案：A9.若角α的终边过点（﹣1，2），则cos（π﹣2α）的值为(

)A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：∵角α的终边过点（﹣1，2），∴cosα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（2cos2α﹣1）=1﹣2cos2α=1﹣=，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．10.已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有(

)A．4条

B．3条C．2条

D．1条参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.14．在空间给出下列五个命题：①如果两条直线、分别平行于直线，则∥；②如果直线与平面内的一条直线平行，则∥；③如果直线与平面内的两条直线都垂直，则⊥；④如果平面内的两条直线都平行于平面，则∥；⑤如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则⊥

其中是真命题的是_____________（将所有真命题的序号填上）参考答案：答案:（1）（5）

解析:（考查空间线面之间的平行垂直关系）解：只有（1）（5）是真命题12.过原点且倾斜角为的直线被圆所截的弦长为_________参考答案：略13.设函数，，其中，为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线l。（1）求的值，并写出切线l的方程；（2）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。参考答案：解：（Ⅰ） 由于曲线在点（2，0）处有相同的切线， 故有由此得 所以，切线的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以 依题意，方程有三个互不相同的实数， 故是方程的两相异的实根。 所以 又对任意的成立， 特别地，取时，成立，得 由韦达定理，可得 对任意的 则 所以函数的最大值为0。 于是当时，对任意的恒成立， 综上，的取值范围是

略14.若复数是纯虚数，则实数等于______.参考答案：

略15.

有下列命题：①函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于轴对称；②若函数f（x）＝，则，都有；③若函数f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）>f（a＋1）；④若函数(x∈)，则函数f(x)的最小值为.其中真命题的序号是

.参考答案：②④16.函数，若互不相同，且，则的取值范围是___________;参考答案：（32，35）17.从中随机选取一个数，从中随机选取一个数，则关于的方程有两个虚根的概率是

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+﹣1（n∈N*），{an}的前n项和是Sn．（Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣（n﹣1），证明：Sn＜2n+1．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（I）由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2．可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，?n∈N*，1＜an＜2成立即可．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，满足{an}是递增数列，即可得出a1的取值范围．（II）a1＞2，可用数学归纳法证明：an＞2对?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即数列{an}是递减数列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．累加求和即可证明．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是数列{bn}的前n和Tn≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，令a1=+t（t＞0），可得：Sn＜na1﹣．这与Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，?n∈N*，1＜an＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜an＜2成立．则当n=k+1时，ak+1=ak+﹣1∈?（1，2），即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：?n∈N*，1＜an＜2成立．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，∴{an}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：an＞2对?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即数列{an}是递减数列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是Sn=a1+a2+…+an≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是数列{bn}的前n和Tn≤＜3b1≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：Sn＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：Sn＜na1﹣．这与Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{bn}的前n项和Tn≤＜b1＜1，∴Sn=2n+Tn＜2n+1．19.已知函数，.

（1）求的极值；（2）设，函数在区间（2,3）上不是单调函数，求实数的取值范围;（3）当时，若对任意的,恒成立，求的最小值.参考答案：

略20.（本小题满分12分）已知数列{an}满足，an+1+an＝4n－3(n∈N*)．（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；（2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn；参考答案：解:（1）若数列{an}是等差数列，则an＝a1+(n－1)d，an+1＝a1+nd．由an+1+an＝4n－3，得(a1+nd)+[a1+(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝4－3，解得，d＝2，a1＝－．………….4分（2）由an+1+an＝4n－3，得an+2+an+1＝4n+1(n∈N*)．两式相减，得an+2－an＝4．所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列[，数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2+a1＝1，a1＝2，得a2＝－1．所以an＝

………8分①当n为奇数时，则an＝2n，an+1＝2n－3．所以Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an

＝1+9+…+(4n－11)+2n＝．…………10分②当n为偶数时，Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)＝1+9+…+(4n－7)＝．所以Sn＝………..12分21.（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合应用解析：（Ⅰ）由题意知，，则，，

所以．所以椭圆的方程为．

………4分

（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，

由题意知；

……………5分

②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，

且设直线的方程为，

则直线的方程为．

将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，所以．

……………8分同理，．

…………9分

所以

，当且仅当时取等号

……11分∴综