山西省忻州市后河堡联合学校2023年高三数学理月考试题含解析

山西省忻州市后河堡联合学校2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若三角方程与的解集分别为和，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A本题考查简单的三角方程的求解、集合之间的关系，难度中等.因为，所以集合E是集合F的真子集.2.我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=4，故v=1，i=3，v=1×2+1=3i=2，v=3×2+1=7i=1，v=7×2+1=15i=0，v=15×2+1=31i=﹣1，跳出循环，输出v的值为31，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．3.函数的图像大致为参考答案：B为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：C5.已知tanx=﹣2，，则cosx=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得

=﹣2，cosx＜0，再由sin2x+cos2x=1，解得cosx的值．【解答】解：由tanx=﹣2，，可得tanx==﹣2，cosx＜0．再由sin2x+cos2x=1，解得cosx=﹣，故选C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．6.两个正数a、b的等差中项是一个等比中项是，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：D7.等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9则a1a6的值为（）A．14 B．18 C．21 D．27参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6【解答】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题8.设的定义在R上以2为周期的偶函数，当时，则时，的解析式为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.如图所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以。10.函数的图像可能是

（

）参考答案：C

，且。所以选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是定义在R上且周期为的周期函数，当时，．若函数()在上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值__．参考答案：【分析】根据题意得与有4个交点，画出函数y＝f（x）与y＝logax（a＞1）在（0，+∞）的图象，根据数形结合可得答案．【详解】当时，得，且是定义在上且周期为的周期函数，函数(a＞1)在(0，)上恰有4个互不相同的零点，函数与(a＞1)在(0，)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x＝时，有＝1，所以.故答案为：【点睛】本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.已知经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，且，若直线AB被圆所截得的弦长为4，则p=______.参考答案：或6抛物线的焦点，设直线方程为，代入有，设，从而①，，②由可得③，联立①②③可得，于是直线方程为，即，从而圆心到直线的距离为，又圆的半径为，弦长为4，从而有，解得或6。13.的展开式中的常数项是

(用数字作答)参考答案：答案：－2014.已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：[5，+∞）考点：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据f（x+1）=﹣，可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．解答：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有4个交点，所以可得1≥loga（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．点评：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．15.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为

参考答案：略16.如图，圆内的正弦曲线

与轴围成的区域记为(图中阴影部分)，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是

．参考答案：阴影部分的面积为，圆的面积为，所以点落在区域内的概率是。17.某个容量为N的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间[4,5)上频数为60，则N＝________.参考答案：组距为1，在区间[4,5)上频率为1－0.4－0.15－0.10－0.05＝0.3，在区间[4,5)上频数为60，则＝0.3?N＝200.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点，，和组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值.参考答案：（Ⅰ）由条件，得，且，∴.又，解得，.∴椭圆的方程.（Ⅱ）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，，联立方程，消去得，.∵直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交.∴，.∴.令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，∴当，设时，，的最大值为3.19. 已知定义在上的函数，其中为大于零的常数．（Ⅰ）当时，令，求证：当时，（为自然对数的底数）；（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．参考答案：（Ⅱ），（*），令有-----------9分设方程（*）的两根为则，设----10分当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或；当时，在上单调递减，最大值为，所以在上的最大值只能为或；又已知在处取得最大值，所以即解得，所以

略20.（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且函数f（x）无极值，g（0）g′（1）=﹣e（其中e为自然对数的底数）．（1）求a的取值范围；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，求实数m的取值范围；（3）当a≤0时，对于任意的x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）．参考答案：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+（x＞0）；当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（x）无极值；当a＜0时，f′（x）=；若x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0；若x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；∴f（x）存在极大值，且当x=﹣时，f（x）极大=f（﹣）=ln（﹣）﹣1；综上，a的取值范围是[0，+∞）；（2）∵函数g（x）的导数是g′（x）=ex，∴g（x）=ex+c；∵g（0）g′（1）=﹣e，∴（1+c）e=﹣e，∴c=﹣2，∴g（x）=ex﹣2；∵存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，即存在x∈（0，+∞），使得m＞ex﹣x成立；令h（x）=ex﹣x，则问题可化为m＞h（x）min，对于h（x）=ex﹣x，x∈（0，+∞），∵h′（x）=ex（+）﹣，当x∈（0，+∞）时，∵ex＞1，+≥2=，∴ex（+）＞；∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数；∴h（x）＞h（0）=0，∴m＞0，即实数m的取值范围是（0，+∞）；（3）由（1）得a=0，则f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x），则φ（x）=ex﹣lnx﹣2，∴φ′（x）=ex﹣，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数；设φ′（x）=0的根为t，则et=，即t=e﹣t，∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上是减函数，当x∈（t，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上是增函数；∴φ（x）min=φ（t）=et﹣lne﹣t﹣2=et+t﹣2；∵φ′（1）=e﹣1＞0，φ′（）=﹣2＜0，∴t∈（，1）；∵φ（t）=et+t﹣2在t∈（，1）上是增函数，∴φ（x）min=φ（t）=et+t﹣2＞+﹣2＞0，∴f（x）＜g（x）．21.（2016?临汾二模）如图所示，已知AB为⊙O的直径，PB、PN都是⊙O的切线，切点分别为B、N，PN交BA的延长线于点M．（1）求证：AN∥OP；（2）若AB=4，BP=6，求证：MN=NP．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合两条直线平行的判定方法，即可证明AN∥OP；（2）计算MP=12，利用PN=6，即可证明结论．【解答】证明：（1）∵OA=ON，∴∠OAN=∠ONA，∵PB、PN都是⊙O的切线，∴∠POB=∠PON，∴∠POB=∠OAN，∴AN∥OP；（2）∵AB=4，BP=6，PB⊥AB，∴∠BPO=30°，PN=6，∴∠BPN=60°，∴MP=12，∴MN=6，∴MN=NP．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查线段长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2．（1）若，求b的值；（2）若，求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】HS：余弦定理的应用；HQ：正弦定理的应用．【分析】（1）法1：利用正弦定理求得A，判断△ABC是等腰直角三角形，即可求出b．法2：通过a=2，，利用余弦定理