人教版2016年秋季13.4-课题学习-最短路径问题(新人教版)

13.4课题学习

最短路径问题利川市建南民中张中建复习引入线段公理：两点之间，线段最短.垂线段性质：垂线段最短.AB最短路径问题BAl

问题1：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③问题2：两点在一条直线异侧

已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.想一想：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用问题3：

1、如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？ABllABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABl如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.？lABC（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？转化需要遵循的原则是什么？（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABClABCB′如下左图，作点B关于直线l的对称点B′.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？如上右图，在连接AB′两点的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.lABCB′

在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′证明：如图.1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习：请你自己动手试一试！A'C

作法：①作点A关于街道的对称点A'.

②

连接A'B,交街道于点C.

点C的位置即为所求.运用新知2、如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．运用新知思路点拨：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点M，使QM与MP的和最小”．归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl

如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.草地小河A问题4：（1）一点在两条直线内部例：已知：如图，在l1、l2之间有一点A.求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMNl1l2

解：如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点.连接AM和AN，则AM+MN+NA最小.因此，那天这样走路线最短.MNA1AA2例.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,

2.作点C关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMN如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B，请画出最短路径.作法：1.作点A关于直线

MN

的对称点点C,2.作点B关于直线ON

的对称点点D,3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、H，则AG+GH+BH最短MNOB

··ACDGH问题4：（2）两点在两条直线内部ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN问题5：（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？

如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？分析：aBAbMN

由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.分析：lABCaBAbMNA'如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.证明：aBAbMNA'N′M′归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC小结归纳lABClABCB′转化轴对称变换平移变换两点之间，线段最短.你能解答吗？思考：如图，等腰三角形ABC底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为

cm．

作业：1、如图，锐角△ABC的边AC=６,△ABC的面积为15，AD平分∠