山西省忻州市原平知源高级中学2023年高三数学文联考试卷含解析

山西省忻州市原平知源高级中学2023年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知、表示两个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列命题正确的是（

）A．若⊥，⊥，则∥

B．若∥，∥，则∥C．若⊥，⊥，则∥

D．若⊥，⊥，则∥

参考答案：A略2.若向量，满足，，且，则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1）上为增函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A

考点：函数的单调性与奇偶性.4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x﹣10245f（x）121.521下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的个数为(

) A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：导数的综合应用；简易逻辑．分析：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，可得：函数f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增；在区间[0，2]上单调递减；在区间[2，4]上单调递增；在区间[4，5]上单调递减．结合表格可得函数f（x）的图象，进而判断出答案．解答： 解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，可得：函数f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增；在区间[0，2]上单调递减；在区间[2，4]上单调递增；在区间[4，5]上单调递减．结合表格可得函数f（x）的图象：由图象可得：①函数f（x）的值域为[1，2]，正确；②函数f（x）在[0，2]上是减函数，正确；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，因此不正确；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点，正确．综上可得：正确命题的个数为：3．故选：D．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性图象与性质，考查了推理能力与数形结合的能力，属于中档题．5.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是

(A)

(B)(C)

(D)

参考答案：B略6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为63,则判断框中应填

A． B．

C．

D．参考答案：D略7.已知变量满足约束条件,则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，因此直线过C点时取最大值1，选C.考点：线性规划求最值【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.若函数同时具有以下两个性质:①是偶函数;②对任意实数x,都有。则的解析式可以是（

）A．=cosx B．=C．= D．=cos6x参考答案：C【知识点】函数的奇偶性B4由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．

∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．

∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=-4，是最大值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．9.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝，当x＞0时，f（x＋1）＝f（x）＋f（1），若直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为A．（2－2，2－4）

B．（＋2，＋）C．（2＋2，2＋4）

D．（4，8）参考答案：A10.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A．1

B．3

C．4

D．5参考答案：D【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故选：D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是____________.（写出所有真命题的序号）参考答案：①②略12.第十一届全运会的篮球比赛中，已知甲、乙两名运动员每场比赛的得分统计茎叶图如图所示，则发挥较稳定的运动员是

.参考答案：甲13.在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角A=

。参考答案：或由正弦定理可知，即，所以，因为，所以,所以或。14.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan（α+β）的值是

．参考答案：考点：两角和与差的正切函数；球内接多面体．专题：三角函数的求值；空间位置关系与距离．分析：由题意画出图象以及过球心的截面圆，由球和正三棱锥的几何特征可得：两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，再求出涉及的线段的长度，根据两角和的正切函数和正切函数的定义求出tan（α+β）的值．解答： 解：由题意画出图象如下图：由图得，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，所以D为BC中点，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，故∠SDA=α，∠MDA=β．设SM∩平面ABC=P，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，SM=2R，AB=a，∴，因此=，故答案为：．点评：本题通过对球的内接几何体的特征考查利用两角和的正切函数的进行计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题．15.已知函数的定义域［-1，5］，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，

x-10245F(x)121.521

下列关于函数的命题；①函数的值域为［1，2］；②函数在［0，2］上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；④当时，函数最多有4个零点.其中正确命题的序号是

.参考答案：①②④由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,，又，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为，①正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值，极大值为，所以当时，最多有4个零点，所以④正确，所以真命题的序号为①②④.16.设不等式组，其中a>0,若z=2x+y的最小值为，则a=

.

参考答案：画出可行域如图所示，目标函数可变为，平移可知在取得最小值，代入可得，所以.17.设函数其中.①当时，若，则__________；②若在上是单调递增函数，则的取值范围________.参考答案：1,

【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】①当时，若x<1，则无实数解；

若则

②若在上是单调递增函数，

则即

令

所以g(a)在单调递增，且

所以的解为：

故的取值范围是：。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，设bn=Sn﹣3n．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=2log2bn﹣+2，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．计算题；证明题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由an+1=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n），从而得到bn+1=2bn，于是有：数列{bn}是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣，设M=1++++…++…①则M=++++…++…②，利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn．证明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+3n，∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）∴bn+1=2bn…（4分）又b1=S1﹣3=a1﹣3=1，∴{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，故数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…（8分）设M=1++++…++…①则M=++++…++…②①﹣②得：M=1+++++…+﹣=2﹣﹣，∴M=4﹣﹣=4﹣，∴Tn=n（n+1）+﹣4…（12分）【点评】：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式，突出考查了错位相减法，考查分析与转化的能力，属于中档题．19.已如直线C的参数方程为（（为参数）.以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程：（Ⅱ）若直线（，）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）利用求极坐标方程即可；（Ⅱ）设、，则，联立和即可.试题解析：（I）曲线C的普通方程为，由，得；（II）解法1：联立和，得，设、，则，由，得，当时，|OM|取最大值．解法2：由（I）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则，∵，当时，，，，当且仅当，即时取等号，∴,即的最大值为．20.（本小题满分分）已知函数.（1）若对都成立，求的取值范围；（2）已知为自然对数的底数，证明：N，.参考答案：（1）解：∵，其定义域为,

∴.

…………1分

①当时，，当时，，

则在区间上单调递减，此时，，不符合题意.…2分

②当时，令，得，，

当时，，则在区间上单调递减，

此时，，不符合题意. …………3分

③当时，，当时，，

则在区间上单调递增，此时，，符合题意.……4分

④当时，令，得，，当时，，

则在区间上单调递增，此时，，符合题意.……5分

综上所述，的取值范围为.

…………6分（2）证明：由（1）可知，当时，对都成立，

即对都成立.

…………7分

∴.………………8分

即.

由于N，则.

…………9分

∴.

∴.

…………10分

由（1）可知，当时，对都成立，

即对都成立.

…………11分∴.

…………12分

即.

得

由于N，则.…………13分

∴.

∴.

…………14分21.（本小题满分14分）在中，角，，所对应的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的面积.参考答案：解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得

．

∴．

∵,

∴，

∴．

又∵

，

∴．

（Ⅱ）由正弦定理，得，

由可得，由，可得

，

∴．

22.（本小题满分14分）设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数的最小值；（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为