山西省忻州市原平崞阳镇联合校2021年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省忻州市原平崞阳镇联合校2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，补形找出异面直线所成角，求解三角形得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：几何体是三棱锥A﹣BCD，满足面ACD⊥面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD．最短棱为CD，最长棱为AB．在平面BCD内，过B作BE∥CD，且BE=CD，∴四边形BEDC为正方形，可得AE=2，在Rt△AEB中，求得AB=，∴cos∠ABE=．即最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为．故选：A．2.要得到函数f（x）＝2sinx的图像，只需把函数y＝sinx－cosx的图像

（

）A．向左平移的单位

B．向右平移个单位C．向左平移的单位

D．向右平移个单位参考答案：C3.在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，PA=PC=2，AC中点为M，cos∠PMB=，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A． B．2π C．6π D．π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】利用条件，判断AB，PB，BC互相垂直，可得三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由题意，AC=2，BM=1，PM=，∵cos∠PMB=，∴PB=，∴AB，PB，BC互相垂直，∴三棱锥的外接球的直径为，∴三棱锥的外接球的表面积为=6π，故选C．4.函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1）处的切线斜率为1，则的最小值是（）A．10 B．9 C．18 D．10参考答案：C【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，可得f′（1）=2a+b=1，再用“1”的代换，展开后利用基本不等式，即可求最小值．【解答】解：由f（x）=ax2+bx，得f′（x）=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，所以f′（1）=2a+b=1，即．则=?（2a+b）=10++≥10+2=18．当且仅当时，“=”成立．所以的最小值是18．故选：C．5.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，取AC的中点D，A1C1的中点D1，建立空间直角坐标系．利用=，即可得出．【解答】解：如图所示，取AC的中点D，A1C1的中点D1，建立空间直角坐标系．不妨设AC=2．则A（0，﹣1，0），M（0，0，2），B（﹣，0，0），N．=（0，1，2），=．∴===．故选：C．6.设随机变量ξ服从正态分布N（3，σ），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（3，σ），得到曲线关于x=3对称，根据P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），结合曲线的对称性得到点c+1与点c﹣1关于点3对称的，从而做出常数c的值得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（3，σ），∴曲线关于x=3对称，∵P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），∴c+1+c﹣1=6，∴c=3，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．7.公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则

（

）

2

4

8

16参考答案：D8.已知点C在∠AOB外且设实数满足则等于（）A．2 B． C．-2 D．-:Z§参考答案：A略9.已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为

A.

B.C.

D.参考答案：A10.下列说法中错误的个数是（）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≥0”；③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知甲射手射中目标的频率为，乙射手射中目标的频率为，如果甲乙两射手的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为

.参考答案：12.掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)(i为虚数单位)为实数的概率为

.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率；数与运算/复数初步/复数的四则运算.【试题分析】复数为实数，则，掷两颗骰子，其向上的点数的组合有36种，其中相等的组合有6种，故事件“复数为实数”的概率为.13.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是:一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一行左起七个方块中（方块上标有字母），能够确定下面一定没有雷的方块有

，下面一定有雷的方块有

.（请填入所有选定方块上的字母）图甲

图乙参考答案：BDEF(3分)；AC（2分）略14.已知cos（﹣φ）=，且|φ|，则tanφ=

．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式化简，求出角的大小，然后求解所求函数值．【解答】解：cos（﹣φ）=，可得sinφ=，∵|φ|，∴0＜φ，φ=．tan=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．15.计算=

．参考答案：110【考点】方根与根式及根式的化简运算．【分析】利用幂的性质和运算以及根式与幂的互化解决．【解答】解：原式=+==11016.在中，，面积为,则=________.参考答案：略17.等比数列中，，，则（

）A．－4

B．4

C．±4

D．－5参考答案：A三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.

(1)当b=0时，若对x∈（0，+∞）均有f(x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；

(2)设h(x)的图象为函数f(x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x1,f(x1))和(x2,g(x2))，其中x1>0.

①求证：x1>1>x2；②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2－x+xe+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：(1)依题意对x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立

即对任意x∈（0，+∞）均有≥k≥成立…………………(1分)

∴()min≥k≥

因为()=

故在（0，1）上减，（1，+∞）增

∴（）min=e

又

故在（0，e）上减，（e，+∞）增

∴

即k的取值范围是[，e]

(2)由题知：h(x)即为y－e=e(x－x1)即y=e·x+e－x1e

也为y=lnx2=即y=+lnx2－1

∴………………(6分)

又x1=0

∴e>1

即>1x1>1

即x1>1>x2………………(8分)

(3)令F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)

∴F′(x)=－1－xe+e=－1+e(1－x)(x≥x1)

又x≥x1>1

F′(x)=－1－xe+e=－1+e(1－x)<0

即F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)单减

所以只要F(x)≤F(x1)=ax2－x1+1xe+1≤0

即a+x1－x1e+e≤0………………(12分)

由

∴

即

故只要≤0得：a≤1综上，实数a的取值范围是（－∞，1]……………(14分)19.旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人.设旅行团的人数为人，飞机票价格为元，旅行社的利润为元.(1)写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；(2)当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.参考答案：(1)依题意得，……5分(2)设利润为……12分20.(本题13分)已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2,点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C上的一点在第一象限，且满足,圆的方程为．求点坐标，并判断直线与圆的位置关系；（3）设点为椭圆的左顶点，是否存在不同于点的定点,对于圆上任意一点,都有为常数，若存在，求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为，

由点在该椭圆上，.又得，

故椭圆的方程为.

（2）设点P的坐标为,则-------------①由得，∴，即-------②由①②联立结合解得：，即点P的坐标为∴直线的方程为∵圆的圆心O到直线的距离∴直线与相切

(3)设点M的坐标为，则假设存在点，对于上任意一点,都有为常数，则,

∴(常数)恒成立可得∴∴或（不合舍去）∴存在满足条件的点B，它的坐标为.21.已知数列{}的前n项和Sn满足（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项。（I）求数列{an}的通项公式； （II）若an·bn=2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：

解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得an=pan﹣1，即．故{an}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p﹣2=0．解得p=或（舍去）．∴=．---------------