山西省忻州市偏关县楼沟乡曹家村中学2023年高三数学理联考试卷含解析

山西省忻州市偏关县楼沟乡曹家村中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设（其中e为自然对数的底数），则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：定积分．专题：计算题．分析：因为f（x）为分段函数，分别在各区间对f（x）积分，相加可得所求的值．解答：解：∫0ef（x）dx=∫01x2dx+∫1edx=x3|01+lnx|1e=﹣0+lne﹣ln1=+1=．故选A点评：本题为基础题，要求学生会进行积分运算．做题时学生应注意f（x）是分段函数，所以要分两部分积分．2.如图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为，且||=，若，则值为（）A．2 B．4 C． D．参考答案：B略3.已知函数的值域A,函数≤0)的值域是B,则(

)A．

B．

C．∩B=

D．∩B={1}参考答案：C4.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角．解答： 解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（﹣，﹣1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为=（x，y，z）则即，取z=1，则得=（，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选A．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．5.已知命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是(

) A．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 C．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0参考答案：C考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项解答： 解：命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故?p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．点评：本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．6.设集合,,

则A∩B=

A．

B.C.

D.参考答案：D略7.设则

(

)（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B8.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4}，则A∩B=

（）A.{2,4}

B.{1,3}

C.{1,2,3,4}

D.{1,4}参考答案：A由交集的定义选A.9.已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2

（B）

（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2参考答案：B当，，时，可知，，，所以A选项错误；当时，C选项错误：当时，，与D选项矛盾，因此描述均值定理的B选项为正确答案，故选B。10.函数在上的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于点B、C两点，则（

）A．

B．

C．32

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a∈(，)，tanα=2，则cos2α=

.参考答案：12.公差为1的等差数列满足，则的值等于

。参考答案：1813.（5分）（2015?万州区模拟）设双曲线的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，则双曲线的离心率等于．参考答案：【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，不妨设|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m，由双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到．解析：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，不妨设|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=3m，又2c=|F1F2|=5m，则双曲线的离心率等于=，故答案为：．【点评】：本题主要考查双曲线的定义，考查双曲线的离心率，属于基础题．14.已知是定义在上的奇函数,则的值域为

.参考答案：15.若（其中为整数），则称为离实数最近的整数，记作，即．（1）若，则的值域是

；（2）设集合，，若集合的子集恰有个，则实数的取值范围是

.参考答案：；或.（1）当时，，.故填.（2）由条件知是周期为的周期函数，由周期性可作出其图象.又集合的子集恰有个，即中只有两个元素.作出和的图象如图所示，则有

或，即或.故填或.【解题探究】本题是一道涉及创新定义、体现数形结合的小综合题．解题关键是理解“离实数最近的整数”的数学意义，第（2）问由条件得到函数的周期性是解题的突破，这样可以得到函数的图象，从而求出实数的取值范围.另外解题中还要注意特殊点的选取，对应区间端点是否取得.16.若变量，满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：17.如图所示，是定义在区间上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：①若，对于内的任意实数，恒成立；②函数是奇函数的充要条件是；③任意，的导函数有两个零点；④若，则方程必有3个实数根；其中，所有正确结论的序号是________参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，为上一点，点在直径的延长线上，过点作的切线交的延长线于点，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求的半径．参考答案：(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).（Ⅱ）∵，∴．在中，有，则，由（Ⅰ）得，∴．∴，即的半径为3．……………10分考点：圆幂定理及运用．19.（本小题满分12分）（理）在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”.在区域中任取3个“整点”，求这些“整点”中恰好有2个“整点”落在区域中的概率；（2）在区域中每次任取一个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点落在区域中的个数为，求的分布列和数学期望．参考答案：（1）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域内的为：共有3个，∴.（2）依题可得，平面区域的面积为，设扇形区域中心角为，则得，平面区域与平面区域相交部分的面积为.在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.∴的分布列为

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∴的数学期望：.

（或：，故）20.已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于A，B两点，四边形为平行四边形，为坐标原点，且，求直线的方程．参考答案：（Ⅰ）椭圆的方程：

………………4分（Ⅱ）首先，直线的斜率不存在时，，，舍去；

设直线的方程为：，代入椭圆方程：所以，设，则又

及得：，结合韦达定理可求出，

，所以所求直线的方程为：略21.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R.(1)若a＜0时，试求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A、B(A、B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A、B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1、x2、x3∈[0,1]，总存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形试求正实数a的取值范围．参考答案：(1)函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a).因为a＜0，由f′(x)＜0，解得＜x＜－a.所以函数y＝f(x)的单调递减区间为.(3分)(2)当a＝0时，f(x)＝x3＋2.设在点A(x1，x＋2)，B(x2，x＋2)处的切线交于直线x＝2上一点P(2，t)．因为y′＝3x2，所以曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为k＝3x，所以，在点A处的切线方程为y－(x＋2)＝3x(x－x1)．因为切线过点P，所以t－(x＋2)＝3x(2－x1)，即2x－6x＋(t－2)＝0.同理可得x－6x＋(t－2)＝0.(5分)两式相减得2(x－x)－6(x－x)＝0.即(x1－x2)(x＋x1x2＋x)－3(x1－x2)(x1＋x2)＝0.因为x1－x2≠0，所以x＋x1x2＋x－3(x1＋x2)＝0.即(x1＋x2)2