模糊数学及其应用(10-12讲)

第四章层次分析法

层次分析法（analytichierarchyprocess，简称AHP）是美国运筹学家撒汀（T.L.Saaty）等人于20世纪70年代提出的对复杂问题作出决策的一种简明有效的新方法。

在实际生活中，人们往往需要对许多较为复杂、较为模糊的问题作出决策。如：填报高考志愿，选择科研课题等，往往需要考虑许多因素，对一些备选项目作出排序，从而作出最后的决策。定义1A=(aij)n×n为一n阶方阵，若

(1)aij>0;(2)aij=1/aji

则称A为正互反矩阵。如：定义2

若A=(aij)n×n为正互反矩阵，且

aijajk=aik(i,j,k=1,2,…,n)

则称A为一致矩阵。层次分析法的一般步骤：1.建立层次结构模型：准则C1准则C2准则Cn……方案P1方案P2......方案Pm决策目标目标层O方案层P准则层C2.构造判断矩阵：

（确定每一层对上一层次每个因素的判断矩阵）A=(aij)n×n应满足aij>0;aij=1/aji。（即A为正互反矩阵）其中比较尺度aij的取值如下：ci比cj

相等较强强很强绝对强aij13579返回3.单层排序及一致性检验：(1)单层排序：求解判断矩阵A的最大特征值λmax,再由Ax=λmaxx求出λmax对应的特征向量x，并将x标准化（单位化），x标准化后的分量即为同一层次的各因素相对于上一层中某一因素的重要性权重。根据权重即可确定同一层中各元素对上一层次的排序。

(2)

一致性检验：为检验A的一致性，取一致性指标

:（n为A的阶数）取随机性指标RI如下：阶数n123456789RI000.590.91.121.241.321.411.45令若CR<0.1,则判断矩阵A具有满意的一致性。否则要对A重新调整，直到有满意的一致性为止。4.层次总排序及一致性检验：假定上一层C1,C2,…,Cn的总排序已完成,而且权重分别为a1,a2,…,an.下一层P包含m个方案：P1,P2,…Pm,其对于Cj的层次排序权重为则P层（方案层）的总排序权重为：各排序权重见下表：若则总排序结果具有满意的一致性。此时可以根据P层的总排序权重的大小来确定P层各方案的排序。例1企业留成利润合理使用问题（某一企业现有一笔留成利润，请综合各方面利益，确定应如何合理使用）分析：利润的合理使用，目的都是为了更好的调动职工的生产积极性、提高企业水平、改善职工物质文化生活，最终目的是合理使用企业留成利润。中国国营企业按照国家规定的条件和核定的比例，从实现利润中留用一部分归自己支配的一种利润分配形式。

（一）

建立层次结构模型：C1：调动职工积极性C2：提高企业技术水平C3：改善职工文化生活P1：发奖金P2：建集体设施P3：办职工培训班P5：引进新设备合理使用企业留成利润目标层O方案层P准则层CP4：建俱乐部返回（二）

（1）构造判断矩阵O-C：o

C1C2C3特征向量x的分量C1C2C3

11/51/351331/310.10520.63720.2583此处表示：为达到合理使用留成利润的目的，准则C2（提高企业技术水平）的权重应最大λmax=3.0385,CI=0.0193,RI=0.58,CR=0.0332<0.1(具有满意的一致性)（2）构造判断矩阵C1-P：C1P1P2P3P4P5特征向量的分量P1P2

P3

P4

P5

135471/313251/51/311/23¼½2131/71/51/31/310.4910.2320.0920.1380.046此处表示：在提高职工积极性方面，方案P1（发奖金）的权重最大λmax=5.126,CI=0.038,RI=1.12,CR=0.028<0.1(具有满意的一致性)（3）构造判断矩阵C2-P：C2P2P3P4P5特征向量的分量P2

P3

P4

P5

11/71/31/5715331/511/351/3310.0550.5640.1180.263此处表示：在提高企业技术水平方面，方案P3（办培训班）的权重最大λmax=4.117,CI=0.039,RI=0.9,CR=0.043<0.1(具有满意的一致性)（4）构造判断矩阵C3-P：C3P1P2P3P4特征向量的分量P1P2

P3

P4

113311331/31/3111/31/3110.4060.4060.0940.094此处表示：在改善物质生活方面，方案P1（发奖金）与P2（建集体设施）的权重最大λmax=4,CI=0,RI=0.9,CR=0<0.1(具有满意的一致性)（三）

层次总排序结果：

准则C方案P

C1C2C3方案层P的总排序结果

0.1050.6370.258P1P2

P3

P4

P50.49100.4060.2320.0550.4060.0920.5640.0940.1380.1180.0940.0460.26300.1570.1640.3930.1130.172从而对方案的最后排序结果为：P3>P5>P2>P1>P4(作出决策)此处亦确定了5个方案的权重第五章TOPSIS方法TOPSIS（Techniquefororderperformancebysimilaritytoidealsolution：逼近理想解的排序方法）方法最初是由Hwang和Yoon（HwangCL,YoonK.Multipleattributedecisionmaking:methodsandapplications.Berlin:Springer,1981.）提出的，它是一种解决多属性决策问题的有效方法，其主要思想是最终被选择的方案与负理想解的距离越大越好而与正理想解的距离越小越好。

所谓理想解（正理想解），是设想各指标属性都达到最满意的解；所谓负理想解，是设想各指标属性都达到最不满意的解。

假设一个多属性决策问题具有m个备选方案A1,A2,…Am,同时有n个决策属性(标准)R1,R2,…Rn.备选方案在各个属性下的评价值构成一个决策矩阵，见表1现用TOPSIS方法确定应该选择哪个方案？TOPSIS方法的过程如下：（1）计算规范决策矩阵，其规范值为：（2）计算加权规范决策矩阵，其加权规范值为：这里ωj为第j个属性的权重。而且（3）确定正理想解和负理想解：这里I为效益型属性（其值越大越好，如：汽车的安全系数，服务质量等），J为成本型属性（其值越小越好，如：汽车的价格等）。（4）计算每个方案与正理想解和负理想解的分离度：（5）计算备选方案与正理想解的相对接近度：（6）根据ri*由大到小对备选方案进行排序.例1.一家庭现有一购车计划，在初步调查后确定4个备选车型：本田飞度、AudiA4、桑塔纳Vista、别克君越：在选择时决策者需要考虑油耗、功率、价格、安全性、维护性、操纵性等因素（属性），其购买轿车的决策矩阵如下：油耗（L/100km）功率（瓦特）价格(万)安全性维护性操纵性本田飞度51.46差（0.3）中（0.5）好（0.7）AudiA49230好（0.7）中（0.5）很好（0.9）桑塔纳Vista81.811中（0.5）高（0.7）中（0.5）别克君越122.518好（0.7）中（0.5）中（0.5）权重0.10.10.30.20.20.1应用TOPSIS方法评选轿车，对四种方案排序，过程如下：第一步：构造决策矩阵第二步：计算规范化决策矩阵第三步：计算加权规范决策矩阵第四步：这里R1(油耗)与R3(价格)为成本型属性，而R2(功率)、R4(安全性）、R5(维护性)、R6(操纵性）为效益型属性，从而计算正理想解和负理想解如下第五步：确定各方案与正理想解和负理想解的分离度第六步：确定相对接近度类似地，r2*=0.2847,r3*=0.7126,r4*=0.5168从而对方案的排序为：桑塔纳Vista>本田飞度>别克君越>AudiA4第六章模糊模式识别问题：已知某类事物的若干标准集，现有该类事物中的一个具体对象，问应把它归到哪一类？例1苹果分级问题.

按照苹果的大小、色泽、有无损伤将苹果分为4级，分级是模糊的.标准模型库＝{Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}.现有一个苹果，它属于哪一级？――元素对标准模糊集的识别问题（个体识别）该病人症状属于上述标准库的哪一类症状？――模糊集对标准模糊集的识别问题（群体识别）例2医生诊病问题.设论域U＝{各种疾病症状}.由长期临床积累的经验，得到标准模型库：心脏病：………感冒：现有一病人，病人向医生诉说症状：模糊模式识别主要有以下两个方法：1.最大隶属原则方法；2.择近原则方法。1.最大隶属原则适用于个体识别例1（学习成绩的模糊识别）论域U=[0,100]（分数）上确定了三个模糊集A=“优”，B=“良”，C=“差”，且隶属函数分别为：现有一同学的成绩为88分，问该同学的成绩应评为优、良，还是差？将x=88代入以上隶属函数，计算得：A(88)=0.8;B(88)=0.7;C(88)=0.此处A(88)最大。根据最大隶属度原则，认为该成绩应评为“优”。注：①两相同集合的贴近度最大;②两个较“接近”的模糊集的贴近度较大.为论域U上的模糊集，若映射（1）贴近度：设σ为映射，且2.择近原则满足：适用于群体识别（2）几种常用的贴近度：此处2,3也称为距离贴近度，其中2为海明距离，3为欧几里得距离（3）择近原则：例2.设论域

且：问B与A1，A2，A3中哪个最接近？解：不妨用贴近度来计算：从而，认为：B与A1最贴近。若采用其它贴近度，其计算结果是一致的。例3.茶叶的模糊识别“西湖龙井茶”的茶叶质量（外形与内质）的指标共7个：形状、色泽、净度、汤色、香气、滋味、叶底，这些指标都是模糊的。西湖龙井茶可分为七个等级：特一级（A1）、特二级（A2）、特三级（A3）、一级（A4）、二级（A5）、三级（A6）、四级（A7），其数据见下表：A1A2A3A4A5A6A7形状10.90.80.60.50.40.3色泽0.90.80.70.50.40.30.2净度0.90.90.90.70.50.50.5汤色0.90.90.80.60.50.40.2香气10.90.80.70.60.50.3滋味10.90.70.70.60.50.3叶底0.90.80.70.60.40.40.2现有一待识别茶叶B=(0.8,0.8,0.7,0.8,0.7,0.7,0.6),判断B应属于哪个级别？解：不妨采用距离贴近度来计算，计算结果为：通过计算得知：B与A3最贴近，从而认为B应属于“特三级”。例41998年美国大学生数学建模竞赛题：蠓的分类左图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.①给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？②将你的方法用于触角长和翼长为：(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.解：先将已知的15只蠓进行模糊聚类，当

=0.919时,将已知的15只蠓分为3类：{1,2,3,4,5,6,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三类的中心向量分别为(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).用平移极差变换将它们分别变为：三个待识别标本(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)见下图：从该图看到，三只待识别的蠓处于Af族蠓和Apf族蠓的边界位置，这三只蠓属于哪一类具有模糊性。现将三只待识别的蠓(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)也用上面的极差变换分别变为：不妨采用如下贴近度进行计算：经计算，得根据择近原则知：第一只待识别的蠓B1(1.24,1.80)属于第三类，即Apf蠓；第二只待识别的蠓B2(1.28,1.84)属于第三类，即Apf蠓；第三只待识别的蠓B3(1.40,2.04)属于第二类，即Af蠓。第七章模糊数学在数学建模中的应用数学建模的步骤：（1）问题分析；（2）模型假设；（3）模型建立；（4）模型求解；（5）模型分析(检验、改进)。五步建模法56

国际数学建模竞赛简介1、国际数学建模竞赛起源(1)数学建模竞赛最早是在1985年起源于美国的一年一度的大学生数学建模竞赛，其全称为MathematicalContestinModelling，简称为MCM。(2)它是美国国家科学基金、美国数学、运筹与管理学会及其应用联合会联合举办的在世界上影响范围最大的高水平大学生学术赛事.

全国数学建模竞赛的发展57◆1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛；◆

1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛；◆数学建模竞赛已成为全国大学生四大科技竞赛之一。是规模最大、参加校数最多、参加人数最多的科技竞赛。◆数学建模竞赛从一个侧面反映了一个学校学生的综合能力；

◆数学建模竞赛为学生提供了一个展示自我才华的舞台。

数学建模竞赛的特点

59◆组织形式◆竞赛内容◆竞赛时间◆竞赛的相对开放与对立性◆成果为一篇论文

数学建模竞赛的评奖标准60◆假设的合理性◆建模的创造性◆结果的正确性◆文字表述的清晰程度61我校大学生近年参加数学建模竞赛成绩年度国际特等奖国际特等提名奖

国际一等奖

国际二等奖

国家一等奖国家二等奖省级奖合计20121142011125201016200952010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（B）

（B）2010年上海世博会影响力的定量评估

世博轴上海馆北京馆甘肃馆新疆馆

题目：2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。2010年上海世博会影响力的定量评估摘要：2010年上海世博会能给参展国家带来发展的机遇，扩大国际交流和合作，提升国际影响力，促进经济的发展，同时也能给我国创造巨大的经济效益和社会效益。本文是从经济和旅游两方面定量评估上海世博会的影响力。首先，我们从中国、上海、江苏和浙江统计局官方网站查到统计年鉴的相关数据，进行分析比较后，得到体现上海世博会对经济和旅游影响力的七个具体方面：旅游业、基础设施建设、对外贸易、零售业、餐饮业、交通运输业和其它相关产业。模型一：层次分析模型。根据层次分析法得到了上海世博会对七个具体方面影响力从大到小的排序：旅游业、零售业、对外贸易、餐饮业、交通运输业、其它相关产业及基础设施，其所占权重分别为：0.6076、0.5527、0.2603、0.1576、0.0917、0.0249、0.0174，其中上海世博会对旅游业、零售业、对外贸易影响力较大，政府应该加大在这些方面的投入。通过这些方面的相关数据建立了数学模型对上海世博会在经济和旅游两方面的影响力进行定量评估。模型二：模糊综合评价模型.由旅游业、基础设施建设、对外贸易、零售业、餐饮业、交通运输业和其它相关产业的2004-2010年上海市相关数据建立了单因素评判矩阵R=(rij),又根据模型一得到七个方面所占权重为:A=(0.6076,0.5527,0.2603,0.1576,0.0917,0.0249,0.0174)由模糊综合评价法，可得2004-2010年上海的经济增长权重为：（0.1909,0.2076,0.2041,0.2304,0.2660,0.2727,0.3405）。可以看出，距上海世博会越近，经济增长权重越大，这就是世博会的“临近效应”，并且年经济增长权重明显高于其它年份，上海世博会对上海经济的影响是巨大的。

Ⅰ问题重述

2010上海世博会是首次在中国举办的世界博览会，会展期为2010年5月1日到2010年10月31日。世界博览会是由一个国家的政府主办，有多个国家或国际组织参加，以展现人类在社会、经济、文化和科技领域所取得成就为目的的国际性大型展示会。世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。一般来说，世博会会给举办国和举办城市带来社会各个方面的影响。试从某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。Ⅱ问题分析中国2010年上海世界博览会（Expo2010），是第41届世界博览会。于2010年5月1日至10月31日期间，在中国上海市举行。此次世博会也是由中国举办的首届世界博览会。上海世博会以“城市，让生活更美好”（BetterCity,BetterLife）为主题，总投资达450亿人民币，创造了世界博览会史上最大规模记录。同时超越7000万的参观人数也创下了历届世博之最。世博会享有经济、科技和文化领域内的奥林匹克盛会的美誉，不仅能给参展国家带来发展的机遇，扩大国际交流和合作，促进经济的发展，而且也能给举办国家创造巨大的经济效益和社会效益，宣传和扩大举办国家的知名度和声誉，促进社会的繁荣和进步。世博会在一定程度上推动了举办国家、特别是举办城市的经济发展，主要表现在：促进举办国家和城市的经济增长、旅游业的发展、基础设施的建设、对外贸易的提升、零售额的提高、餐饮业的繁荣、交通运输的发达及相关产业的进步。我们借助于国家统计局、上海统计局、上海旅游局、江苏统计局和浙江统计局等官方网站的权威统计数据，利用层次分析法、模糊综合评价法分析上海世博会对我们国家和上海市以及长江三角洲地区的经济影响，从而定量评估了上海世博会的影响力。Ⅲ模型假设1.假设从官方网站得到的统计数据与实际数据是完全一致的；2.对一组数据的影响是多方面的，如旅游人数，它除了世博会的影响外，还会受到其它因素的制约。因此，在本文中，我们假设其它因素的影响力均衡或是无变化的。

Ⅳ

模型建立与求解分析模型一：层次分析模型层次分析法是美国运筹学家撒汀教授于20世纪70年代中期提出的。把一个复杂问题表示成有序的递阶层次结构，通过人们的判断，对备选指标的优略进行排序。这种方法具有实用性、系统性、简洁性等很多优点，特别适用于有关社会经济系统的决策分析。我们认为上海世博会的影响力主要表现在经济增长方面（目标层）的影响力，经济增长又主要体现在提高GDP、扩大需求和提高生活水平（准则层）方面的影响力，以上增长又是透过旅游业、基础设施建设、对外贸易、零售业、餐饮业、交通运输业及其它相关产业（方案层）来实现。我们构造了如下层次结构模型来讨论上海世博会对经济的影响。2、构造判断矩阵ci比cj

相等较强强很强绝对强aij13579其中2、4、6、8的强度介于它们之间。

判断矩阵有：3、层次总排序及一致性检验：从权重的计算结果来看，上海世博会对7个因素影响力从大到小的排序为：旅游业、零售业、对外贸易、餐饮业、交通运输业、其它相关产业及基础设施。

从以上分析数据上看，上海世博会对旅游业、零售业、对外贸易三个方面影响力相对较大，权重分别为：0.6076、0.5527、0.2603；而对其他相关产业、基础设施的影响力相对较小，权重分别为：0.0249、0.0174模型二：模糊综合评价模型为了定量评估上海世博会对上海经济增长的影响力，我们从上海统计局官方网站得到2004—2010年上海市关于旅游业、基础设施建设、对外贸易、零售业、餐饮业、交通运输业及其它相关产业的相关数据，如下表。以模型一“层次分析法”所得到的权值，进一步对上海世博会对上海经济的影响力用模糊综合评价的方法做定量评估。综上所述，可以看出上海世博会对上海经济的影响力：05年和06年经济增长权重比较接近，分别为0.2076和0.2041；08年和09年经济增长权重比较接近，分别为0.2660和0.2727，明显高于前几年，这是因为世博会临近，世博的影响力的“临近效应”已经逐渐显现出来；到2010年，由于世博会的召开，2010年的经济增长权重明显高于其它年份，为0.3405，这说明上海世博会对上海经济的影响是巨大的。

Ⅴ模型评价我们所用到的层次分析模型、模糊综合评价模型主要定量评估了2010年上海世博会对上海经济和上海旅游业的影响力的大小，对中国、上海及其周边长江三角地区的影响力大小，也就是说侧重于经济方面的影响。但是，世博会给举办国和举办城市带来的影响是多方面的，尤其是国际影响力，因为时间有限，没有能够对上海世博会的国际影响力做进一步的定量评估，这是我们的模型需要改进的地方。1998年美国大学生数学建模竞赛题：蠓