山西省太原市小店区第三中学2023年高三数学理月考试卷含解析

山西省太原市小店区第三中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：当x∈时，sinx＋cosx≤所以0≤sinx＜－cosx≤于是sin（sinx）＜sin（－cosx）＝cos（cosx），充分性成立.取x＝－，有sin（sinx）＝sin（－）＝－sin＜0cos（cosx）＝cos（－）＝cos＞0所以sin（sinx）＜＜cos（cosx）也成立，必要性不成立故选C考点：三角函数的性质，充要条件2.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A．

B．

C．

D．参考答案：B3.如果数列{an}的前n项和Sn=an﹣3，那么这个数列的通项公式是（）A．an=2（n2+n+1） B．an=3×2n C．an=3n+1 D．an=2×3n参考答案：D【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】利用数列中an与Sn关系，得出，且a1=6，由此判定数列为等比数列，通项公式可求．【解答】解：当n=1时，，解得a1=6．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=，化简整理，所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．通项公式an=6×3n﹣1=2×3n．故选D．4.在三棱锥中，则．

．

．

．参考答案：B5.复数化简的结果为

A.

B.

C.

D.参考答案：A，选A.6.已知双曲线方程的离心率为，其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆的四个顶点重合，椭圆G的离心率为，一定有（

）A．

B．C．

D．参考答案：C7.等差数列中，

（

）

A．24

B．22

C．20

D．-8参考答案：A8.已知命题：若，则函数是偶函数．下列四种说法：①命题是真命题；②命题的逆命题是真命题；③命题的否命题是真命题；④命题的逆否命题是真命题。其中正确说法的个数是（

）（A）1

（B）2（C）3

（D）4参考答案：D9.椭圆的左、右顶点分别为,点P在C上，且直线的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线斜率的取值范围是

A．

B．

C.

D.参考答案：B10.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2010?扬州模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1，则下列四个命题中真命题的序号为．①S2009=2009；②S2010=2010；③a2009＜a2；④S2009＜S2．参考答案：②③略12.已知α为第二象限角，则

。参考答案：-113.已知且，则＝

．参考答案：14.若对于恒成立，则实数a的取值范围

。参考答案：略15.若一个算法程序框图如右图，则输出的结果S为_____.参考答案：略16.人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有

种.

(用数字作答)

参考答案：答案：7217.在区间[﹣，]上随机取一个数x，cos2﹣sin2的值介于0和之间的概率为

．参考答案：

【考点】几何概型．【分析】由题意，随机变量为一个，所以利用时间对应区间长度比求概率即可．【解答】解：在区间[﹣，]上随机取一个数x，对应区间长度为π，而cos2﹣sin2=cosx的值介于0和之间的即0＜cosx＜的x范围为（，]∪[，]，区间长度为，由几何概型的公式得到概率为；故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题11分）已知函数（为实常数且）.（Ⅰ）当，时，（i）设，判断函数的奇偶性，并说明理由；（ii）求证：函数在[2,3)上是增函数.（Ⅱ）设集合，.若，求的取值范围.

参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以.（ⅰ）所以.因为,又因为的定义域为且，所以是偶函数.（ⅱ）设且，因为且，所以综上得即.所以，函数在上是增函数.（Ⅱ）因为，所以函数与的图像无公共点，即方程无实数解，也即方程且（﹡）无实数解.①当时（﹡）无解，显然符合题意.②当时，令，变形得.又令得.于是当，即时，有.所以，要使（﹡）无实数解，只要，解得.综上可得.

变形得.又令得.于是当，即时，有.所以，要使（﹡）无实数解，只要，解得.综上可得.19.如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=CD=SD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD的中点，过M，N作平面MNPQ分别与交BC，AD于点P，Q．（Ⅰ）当Q为AD中点时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（Ⅱ）当时，求三棱锥Q﹣BCN的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出四边形ABCE为矩形，从而AE⊥CD，再求出PQ⊥AE，SE⊥CD，从而SE⊥面ABCD，进而PQ⊥SE，由此能证明PQ⊥面SAE，从而面MNPQ⊥面SAE．（Ⅱ），推导出SE即为S到平面BCQ的距离，即SE=h，由此能求出三棱锥Q﹣BCN的体．【解答】证明：（Ⅰ）E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AE⊥CD，当时，Q为AD中点，PQ∥CD所以PQ⊥AE…因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD…因为PQ在面ABCD上，所以PQ⊥SE所以PQ⊥面SAE所以面MNPQ⊥面SAE…解：（Ⅱ）∵SC=SD，E为CD中点∴SE⊥CD又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，S在平面SCD内∴SE⊥面ABCD∴SE即为S到平面BCQ的距离，即SE=h…在△SCD中，SC=SD=CD=2，∴在直角梯形ABCD中，由已知得∵M，N为中点∴MN∥AB∴AB∥面MNPQ又∵平面MNPQ∩平面ABCD=PQ∴AB∥PQ，又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴∴…如图，在梯形ABCD中，∵GD=1，，∴，∴所以三棱锥Q﹣BCN的体积．…20.（本小题满分12分）已知函数满足满足；⑴求的解析式及单调区间；⑵若，求的最大值.参考答案：（1）

令得：

21.

已知函数满足(1）求函数值域(2）当时，函数的最小值为7，求的最大值参考答案：设

(1）在（0，+）上是减函数

所以值域为（-，1）(2）

由所以在上是减函数或（不合题意舍去）当时有最大值，即

22.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）当时恒成立，求m的取值范围．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用