山西省太原市大众学校2023年高二数学理联考试卷含解析

山西省太原市大众学校2023年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式x2﹣1≥0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x≥1或x≤﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}参考答案：C【考点】集合的表示法．【分析】求出不等式的解集，写出即可．【解答】解：不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，则不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣1}，故选：C．2.已知点，则直线的倾斜角是

（

）A

B

C

D

参考答案：C3.双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是

（

）

A．(,0),(－,0)

B．(,0),(－,0)

C．（－,0）,（,0）

D．(－,0),(,0)参考答案：B略4.在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（

）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为参考答案：C5.若直线l不平行于平面α，且α，则()A．α内存在直线与l异面

B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交参考答案：A6.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”．结论显然是错误的，这是因为（

）

A．大前提错误

B．推理形式错误

C．小前提错误

D．非以上错误

参考答案：A略7.若存在实数使成立，则实数的取值范围是（）A. B.

C.

D.参考答案：D8.函数的最小正周期是------------------------------（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略9.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为DABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值为(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B10.设函数在内有定义．对于给定的正数，定义函数取函数，若对任意的，恒有，则（

）A．的最大值为2

B.的最小值为2C．的最大值为1

D.的最小值为1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.=．参考答案：2π【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】根据定积分的定义，找出根号函数f（x）=的几何意义，计算即可．【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．【点评】此题考查利用定积分的几何意义，求解定积分的值，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．12.设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的

条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．参考答案：必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由q?p，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：∵p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，由q?p，反之不成立．∴p是q成立的必要不充分条件；故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.数列{an}的前n项和为（）,则它的通项公式是_______.参考答案：14.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为__________．参考答案：直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长．15.已知向量，且，则m=_______.参考答案：2由题意可得解得.【名师点睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的运算：.16.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为

．（用数字作答）参考答案：20略17.数列的前ｎ项和，则此数列的通项公式

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和，{bn}是等差数列，且.

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案：(Ⅰ)当时，…………2分当时，符合上式

所以.…………3分则，得所以…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得…………8分两式作差…………12分19.已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（Ⅲ）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=x﹣1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积；（Ⅲ）分类讨论是否与x轴垂直，从而解出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为，∵长轴长2a=，离心率e=，∴，所求椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，∴直线l的方程为y=x﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得，3y2+2y﹣1=0，解得，∴．（Ⅲ）①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．因为△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8（k2+1）＞0，所以．因为y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以．因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，所以kOP?kOQ=﹣1，因为，所以x1x2+y1y2=得k2=2．所以．所以所求直线的方程为．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系应用，同时考查了分类讨论的思想与学生的化简运算能力．20.等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和参考答案：（1）设公差为d，由已知可得又

（2）由（1）知数列中，，

略21.(12分)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π，求函数f(x)的单调区间与极值．参考答案：22.如图，正三棱柱中，是的中点，.

（Ⅰ）求证