山西省太原市三十二中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省太原市三十二中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线a和平面，那么a//的一个充分条件是

A．存在一条直线b，a//b且b

B．存在一条直线b，ab且b

C．存在一个平面，a∥且//

D．存在一个平面，//且//参考答案：2.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：B试题分析：由线面角定义及可得,容易验证其它答案都是错误的,故应选B.考点：空间直线与平面的位置关系及运用.3.若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：C【考点】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选C【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4.设，则

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知，，，则三者的大小关系是（

）.A、

B、

C、

D、参考答案：A6.已知直线平面，直线平面，有下面四个命题:①

②

③

④其中正确的两个命题是:

(

)A．①与②

B．③与④

C．②与④

D．①与③参考答案：答案：D

7.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率为（）

A．

B．

C．或

D．或参考答案：D8.若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是(

) A．2 B．3 C．7 D．8参考答案：B考点：定积分的简单应用；子集与真子集．专题：计算题．分析：先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的个数．解答： 解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有22=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3．故选B．点评：此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基础题．10.执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为A．3

B．126

C．127

D．128参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．∴这个几何体的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为220元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价（元）6789101112日均销售量（桶）480440400360320280240

根据以上数据，这个经营部要使利润最大，销售单价应定为

元。参考答案：13.已知函数的导数为，则

.参考答案：14.方程在区间上的所有解的和等于

。

参考答案：

15.过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是．参考答案：【考点】J3：轨迹方程；J7：圆的切线方程．【分析】根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，则N（3，4）PQ为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN|2=|PO|2+1，即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，即P在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，且d==；即|PQ|的最小值是；故答案为：．16.书架上有本不同的数学书，本不同的语文书，本不同的英语书，将它们任意地排成一排，则左边本都是数学书的概率为________（结果用分数表示）．参考答案：17.在用二分法求方程的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=在点（1，0）处的切线方程；（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x﹣1）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，求导数，求出切线的斜率，即可求函数y=在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数G（x）=a（x2﹣x）﹣lnx，且G（1）=0，分类讨论，即可，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数y==，∴y′=，∴x=1时，y′=1，∴函数y=在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1；（2）设函数G（x）=a（x2﹣x）﹣lnx，且G（1）=0．G′（x）=①当a≤0时，有G（2）=2a﹣ln2＜0，不成立，②当a＜0时，（i）a≥1时，G′（x）=，当x≥1时，G′（x）≥0所以G（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以G（x）≥G（1）=0（ii）0＜a＜1时，设h（x）=2ax2﹣ax﹣1，h（1）=a﹣1＜0，所以存在x0，使得x∈（1，0）时，h（x）＜0，∴G′（x）＜0，G（x）＜G（1）=0不成立综上所述a≥1．19.已知函数f（x）=x﹣aex+b（a＞0，b∈R）．（1）求f（x）的最大值；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2＜﹣2lna．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）求出a，问题转化为证＜﹣2+，不妨设x1＜x2，令x2﹣x1=t＞0，则需证t2＜e﹣t﹣2+et，设g（t）=t2﹣e﹣t+2﹣et，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣aex＞0，解得：x＜ln，∴f（x）在（﹣∞，ln）上单增，在（ln，+∞）上单减，∴f（x）max=f（ln）=ln﹣1+b；（2）证明：由题知，两式相减得x1﹣x2=a（﹣）即a=，故要证x1+x2＜﹣2lna只需证x1+x2＜﹣2ln，即证＜，即证＜﹣2+，不妨设x1＜x2，令x2﹣x1=t＞0，则需证t2＜e﹣t﹣2+et，设g（t）=t2﹣e﹣t+2﹣et，则g′（t）=2t+e﹣t﹣et，设h（t）=2t+e﹣t﹣et，则h′（t）=2﹣e﹣t﹣et＜0，故h（t）在（0，+∞）上单减，∴h（t）＜h（0）=0即g′（t）＜0，∴g（t）在（0，+∞）上单减，∴g（t）＜g（0）=0，故原不等式得证．20.记无穷数列{an}的前项中最大值为，最小值为，令，.（1）若，请写出的值；（2）求证：“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有，且，请问：是否存在，使得对于任意不小于K的正整数n，有成立？请说明理由.参考答案：（1）5；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.【分析】（1）计算得到，代入计算得到答案.（2）分别证明充分性和必要性得到答案.（3）反证法，假设不成立，则或得到，，通过累加得到，与题设矛盾，得证.【详解】（1）（1），则，（2）数列是等差数列，设公差为则，为定值，故数列是等差数列；数列是等差数列，设公差为，则和，和至少一组相等，不妨设只有则故故，为等差数列同理可得只有和都相等的情况，故数列是等差数列综上所述：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件（3）存在假设不存在，则或，对任意，一定存在使得符号相反.所以数列中存在，其中且；因为，即注意到：，有且仅有一个等号成立.所以必有所以，所以因为，所以，所以；；…累加可得；故这与矛盾，假设不成立故存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立【点睛】本题考查了数列的项，充分必要条件，反证法，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.21.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖。

常喝不常喝合计肥胖

2

不肥胖

18

合计

30已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为。（1）请将上面的列联表补充完整（2）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？

参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)参考答案：【知识点】独立性检验的应用．I4【答案解析】（1）见解析（2）有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。（3）解析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，

常喝不常喝合计肥胖628不胖41822合计102030-------------

3分（2）由已知数据可求得：

因此有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。-------------7分（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有

AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种。其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF。故抽出一男一女的概率是----12分【思路点拨】（1）根据全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出