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山西省大同市西韩岭中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知复数z满足|z|=1,则|z-i|(i为虚数单位)的最大值是(
)A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:C【分析】根据复数模的几何意义,求得题目所给表达式的最大值.【详解】表示的复数在单位圆上,而表示的几何意义是单位圆上的点,到点距离,由于点在单位圆上,故最远的距离为直径,单位圆的直径为,故本小题选C.【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义,考查化归与转化的数学思想方法,考查圆的几何性质,属于基础题.2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则的值为(
)A.
B.
C.2
D.4参考答案:D3.过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若则椭圆离心率的取值范围是(
)
A. B. C. D.参考答案:C略4.若命题p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0,则p是q的(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:B5.对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则下列说法中不正确的是()A.由样本数据得到的回归方程为=x+必过样本点的中心(,)B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2的值越小,说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系参考答案:C6.已知结论:“在正中,中点为,若内一点到各边的距离都相等,则”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体中,若的中心为,四面体内部一点到四面体各面的距离都相等,则(
)
A.1
B.2
C.3
D.4参考答案:C略7.若不等式,对恒成立,则关于t的不等式的解为(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:A略8.在正方体中,是底面的中心,分别是棱的中点,则直线
()A.和都垂直B.垂直于,但不垂直于C.垂直于,但不垂直于D.与都不垂直参考答案:A略9.已知抛物线
=-4的焦点为F,定点A(-3,2),M是抛物线上的点,则+取最小值时点M的坐标是(
)(A)(6,2)
(B)(-2,2)
(C)(-,2)
(D)(-,2)参考答案:D10.如图,是双曲线C:,(a>0,b>0)的左、右焦点,过的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点,若,则双曲线的离心率为(
)A.
B.
C.2
D.参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中心在坐标原点,与椭圆有公共焦点,且两条渐近线互相垂直的双曲线的方程为________.参考答案:略16.右图是年在某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为
和方差为
参考答案:,略13.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于.参考答案:【考点】异面直线及其所成的角.【分析】取BC的中点G.连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则∠OEH为异面直线所成的角,在△OEH中,利用余弦定理可得结论.【解答】解:取BC的中点G.连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则∵E是CC1的中点,∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角.在△OEH中,OE=,HE=,OH=.由余弦定理,可得cos∠OEH===.故答案为:14.设全集,,则
▲
参考答案:15.曲线与直线及x轴围成的图形的面积为__________.参考答案:【分析】首先利用定积分表示封闭图形的面积,然后计算定积分即可.【详解】由曲线与直线及轴围成的图形的面积为即答案为.【点睛】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积;关键是正确利用定积分表示所求面积.16.曲线在点处的切线的倾斜角为
。
参考答案:17.若三点共线,则的值为
参考答案:0三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.圆C关于直线对称,直线截椭圆形成最长弦,直线与圆C交于A,B两点,其中(圆C的圆心为C).(Ⅰ)求圆C的标准方程;(Ⅱ)过原点O向圆C引两条切线,切点分别为M,N,求四边形OMCN的面积.参考答案:(I),,半径 ……6分(II)则,, 四边形的面积 ……12分19.如图,在三棱锥S-ABC中,为直角三角形,且,.求证:平面.
参考答案:略
略20.在平面直角坐标系中,已知圆的圆心为,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,是否存在常数,使得直线OD与PQ平行?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.参考答案:.解:(Ⅰ)圆的方程可写成,所以圆心为,过且斜率为的直线方程为.代入圆方程得,整理得.①直线与圆交于两个不同的点等价于,解得,即的取值范围为.(Ⅱ)设,则,由方程①,②又.③而.所以与共线等价于,将②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知,故没有符合题意的常数.略21.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.参考答案:(1)①;②(2)X的分布列见解析,数学期望解:(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=0,1,2,3),则P(A3)=·=.②设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=A2∪A3,又P(A2)=+·=,且A2,A3互斥,所以P(B)=P(A2)+P(A3)=+=.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=2=,P(X=1)=C21·=,P(X=2)=2=,所以X的分布列是X
0
1
2
P
X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足:①在x=1时有极值;②图象过点(0,-3),且在该点处的切线与直线2x+y=0平行.⑴求f(x)的解析式;⑵求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间
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