山西省大同市天镇县第三中学高三数学理期末试题含解析

山西省大同市天镇县第三中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆上的点到直线

的最大距离与最小距离的差是

（

）

A

B.18

C.

D.36

参考答案：略2.设是数列的前n项和，点在直线上，其中，则数列的通项公式为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.4.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入a的值为2，2，5，则输出的x=（

）A．7

B．12

C．17

D．34参考答案：C初始值，，程序运行过程如下：

，，，不满足，执行循环；

，，，不满足，执行循环；

，，，满足，退出循环；输出．故选C．5.在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可．【解答】解：程序框图对应的区域的面积为1，则“恭喜中奖！满足条件为y≤，平面区域的面积S=dx==，则能输出“恭喜中奖！”的概率为，故选：D．6.图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：程序框图．专题：阅读型．分析：i=1，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，m=3，n=++，不满足条件i＜4，退出循环体，最后利用裂项求和法求出n的值即可．解答： 解：i=1，满足条件i＜4，执行循环体；i=2，m=1，n=，满足条件i＜4，执行循环体；i=3，m=2，n=+，满足条件i＜4，执行循环体；i=4，m=3，n=++，不满足条件i＜4，退出循环体，最后输出n=++=1﹣=故选：C点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区2015届高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．7.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数字成绩低于100分，则p∨（￢q）表示（）A．甲、乙两人数学成绩都低于100分B．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据命题p和￢q的意义，即可得到结论．【解答】解：∵命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数字成绩低于100分∴命题￢q表示“乙的数字成绩不低于100分”，∴命题（p）∨（￢q）表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分，故选：D．8.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），ai=，i=0，1，2，…，99，记Sk=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）|+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k=1，2，则下列结论正确的是（）A．S1=1＜S2 B．S1=1＞S2 C．S1＞1＞S2 D．S1＜1＜S2参考答案：B考点：数列与函数的综合；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据Sk=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，分别求出S1，S2与1的关系，继而得到答案．解答：解：由|（）2﹣（）2|=?||，故S1=（+++…+）=×=1，由2|﹣﹣（）2+（）2|=2×||，故S2=2××=＜1，即有S1=1＞S2，故选：B．点评：本题主要考查了函数的性质，同时考查等差数列的求和公式，关键是求出这两个数与1的关系，属于中档题9.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.

B.

C.

D.参考答案：C因为C在平面ABD上的投影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AO＝CO＝AC＝，所以侧视图的面积等于S△AOC＝CO·AO＝××＝.10.如图，在中，已知（I）求角C的大小；（II）若AC=8，点D在BC边上，且BD=2，，求边AB的长.

参考答案：7

∵4sin2+4sinAsinB=3，

∴2[1-cos（A-B）+4sinAsinB=3，∴2-2（cosAcosB+sinAsinB）+4sinAsinB=3，

∴cos（A+B）=-，∴cosC=，∴C=．∵cos∠ADB=，

∴cos∠ADC=-，∴sin∠ADC=，在△ADC中，由正弦定理可得AD=?sinC=7∴AB==7．

略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是

▲

_．参考答案：【知识点】基本不等式．E6

【答案解析】

解析：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣?﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：【思路点拨】原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得．12.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则＝＿＿＿参考答案：.13.不等式的解集是.参考答案：{}试题分析：由绝对值的几何意义，分别表示数轴上点到点的距离，不等式的解集，就是数轴上到距离之和不小于的的集合.结合数轴知所求解集为{}.考点：不等式选讲，绝对值不等式.14.函数的定义域是

。参考答案：【知识点】函数的定义域B1(1,2)解析：由函数解析式得，解得1＜x＜2，所以函数的定义域为(1,2).【思路点拨】由函数的解析式求其定义域就是求是函数解析式有意义的自变量构成的集合，常见的条件有分式的分母不等于0，对数的真数大于0，开偶次方根根式下大于等于0等.15.已知，且，设直线，其中，给出下列结论：①的倾斜角为；②的方向向量与向量共线；③与直线一定平行；④若，则与直线的夹角为；⑤若，，与关于直线对称的直线与互相垂直．其中真命题的编号是

（写出所有真命题的编号）参考答案：②④16.若不等式的解集为，则a的取值范围为

。参考答案：答案：17.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体外接球的表面积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若f（1）=0，a＞b＞c．①求证：f（x）的图象与x轴有两个交点；②设函数图象与x轴的两个交点分别为A、B，求线段AB的取值范围．（Ⅱ）若存在x1、x2且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试说明方程f（x）=，必有一根在区间（x1，x2）内．参考答案：【考点】二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）①欲证证明f（x）的图象与x轴有两个交点，只须由△＞0得图象与x轴有两个交点即可；②利用韦达定理的推论，求出AB，可得绪论；（Ⅱ）根据函数的凸凹性可得结论．【解答】证明：（Ⅰ）①由f（1）=0得a+b+c=0，即b=﹣a﹣c∵a＞b＞c，∴△=b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=（a﹣c）2＞0∴f（x）的图象与x轴有两个交点；解：②由①得：a＞0，∴|AB|==∈（1，3）．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）中①得a＞0，故f（x）为凹函数，∵x1＜x2，f（x1）≠f（x2），故y=f（x），x∈（x1，x2）与y=有且只有一个交点，故方程f（x）=，必有一根在区间（x1，x2）内．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．19.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（2）在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；（3）在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．

参考答案：略20.在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且.（1）求C的大小；（2）若，，求AB边上的高.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值，进而可得出边上的高为，即可得解.【详解】（1），由正弦定理得，即，即，，，则有，，因此，；（2）由余弦定理得，整理得，，解得，由正弦定理，得，因此，边上的高为.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形高的计算，涉及正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.21.在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A处的命中率为0.25，在B处的命中率为.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

023450．03

求的值；

求随机变量的数学期量；试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。参考答案：(1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,,P(B)=q,.根据分布列知:=0时=0.03,所以，q=0.8.（2）当=2时,P1=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

=0.75q()×2=1.5q()=0.24当=3时,P2

==0.01,当=4时,P3==0.48,当=5时,P4==0.24所以随机变量的分布列为

0

2

3

4

5

p

0.03

0.24

0.01

0.48

0.24

随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.22.设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数，使1≤≤对x∈[1，]恒成立．（为自然对数的底数）参考答案：.解：(1)由题意知：x>0，

1分所以

2分解得：