山西省大同市煤矿集团公司第一中学2023年高三数学理联考试卷含解析

山西省大同市煤矿集团公司第一中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，在平面四边形ABCD中，为正三角形，则面积的最大值为A． B． C． D．参考答案：D在中，设，，由余弦定理得：，∵为正三角形，∴，，在中，由正弦定理得：，∴∴∵β<∠BAC，∴β为锐角，∴，当时,.2.5．在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论：①；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C3.（06年全国卷Ⅰ理）如果复数是实数，则实数A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B解析：复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴1+m3=0，m=－1，选B.4.（

）A.-6

B.

C.6

D.参考答案：A5.设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为()A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D6.下列函数中，定义域是且为增函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上()A．是增函数，且f(x)<0B．是增函数，且f(x)>0C．是减函数，且f(x)<0D．是减函数，且f(x)>0参考答案：D8.已知集合A={x|}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3] C．（0，1] D．（0，3]参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤3，即A=（﹣1，3]，由B中不等式变形得：lgx≤1=lg10，解得：0＜x≤10，即B=（0，10]，则A∩B=（0，3]，故选：D．9.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.（5分）（2012秋?寿县校级期末）已知命题：p所有的素数都是奇数，则命题?p是（）A．所有的素数都不是奇数B．有些的素数是奇数C．存在一个素数不是奇数D．存在一个素数是奇数参考答案：C考点：命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：∵命题p为全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p存在一个素数不是奇数．故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设D为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域D内的任一点，都有成立，则的最大值等于_________参考答案：212.若,则的值为

；参考答案：13.如果由矩阵表示的关于的二元一次方程组无解，则实数．参考答案：14.已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，则a=．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，∴，又，∴，得．故答案为：15.平面直角坐标系xOy中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．参考答案：分析】利用任意角三角函数的定义可知，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的正余弦公式求得的值，两者相加即可得解．【详解】解：由题意知：，，由，得，，故答案为：.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的正余弦公式，属于基础题．16.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．参考答案：

【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：17.将的展开式按照x的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n的值是_______.参考答案：5【分析】写出展开式通项，求出展开式倒数第三项的系数表达式，根据已知条件得出关于的方程，即可求得正整数的值.【详解】的展开式按照的升幂排列，则展开式通项为，由题意，则倒数第三项的系数为，，整理得，解得.故答案为：5.【点睛】本题考查根据项的系数求参数，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.参考答案：(1当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:极大值极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ),令,得,,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,;当时,;所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.19.已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列的前三项，（1）若k=7，（i）求数列的前n项和Tn；（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为Sn，求的值（2）若存在m>k,使得成等比数列，求证k为奇数。参考答案：⑴因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，所以，整理得，又，所以，，，所以，

……………4分①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为；

………6分②因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，所以.

所以．

……………10分⑵由，整理得，因为，所以，所以.

因为存在m＞k,m∈N*使得成等比数列，所以，

……12分又在正项等差数列{an}中，，

……13分所以，又因为，所以有，

…………14分因为是偶数，所以也是偶数，即为偶数，所以k为奇数.

……16分略20.（本小题满分12分）如图1在中，，D、E分别为线段AB、AC的中点，.以DE为折痕，将折起到图2的位置，使平面平面DBCE，连接，设F是线段上的动点，满足.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为45°，求的值.参考答案：（1）见解析；（2）

【知识点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定G5G10（1）证明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分别是线段AB、AC的中点，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED?tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE?平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足为G，则FG⊥平面DBCE，设BE交DC于O点，连OF，由（1）知，∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，则=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）【思路点拨】（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，从而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED?tan∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能证明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足为G，设BE交DC于O点，连OF，则∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），从而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此结合已知条件能求出．21.已知抛物线，过点(－1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P.(Ⅰ)证明：点P在x轴上的射影为焦点F；(Ⅱ)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l与圆M的方程.参考答案：解：由题意知可设过点的直线方程为联立得：，又因为直线与抛物线相切，则，即当时，直线方程为，则联立得点坐标为又因为焦点，则点在轴上的射影为焦点设直线的方程为：，，联立得：，则恒成立，，则，由于圆是以线段为直径的圆过点，则，，则或当时，直线的方程为，圆的方程为当时，直线的方程为，圆的方程为

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（3，）．（Ⅰ）求直线l以及曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求三角形PAB的面积．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求直线l以及曲线C的普通方程，可得相应极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点