山西省大同市浑源县大磁窑中学2021年高三数学理联考试卷含解析

山西省大同市浑源县大磁窑中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面区域，，在区域M内随机取一点，则该点落在区域N内的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】画出两区域图形，求出面积，根据几何概型即可得解.【详解】解：区域表示的是一个正方形区域，面积是2，表示以为圆心，为半径的上半圆外部的区域，则在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率是，故选.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，属于基础题.2.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（A）向右平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位

（D）向左平移个长度单位参考答案：A3.．要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，建立方程，即可求n的值．【解答】解：由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余n﹣1人中选出2人，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余n﹣2人中选1人即可，故=0.4，∴n=6，故选：C．【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．4.函数是偶函数的充要条件是（

）A.

B.C.D.参考答案：C5.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A）， （B）， （C）， （D），参考答案：A由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．

6.

=A.1

B.

C.

D.

参考答案：D略7.若（为虚数单位），则直线的斜率为（

）A．-1

B．1

C．

D．参考答案：考点：1.复数；2.直线的斜率.8.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为参考答案：【知识点】空间几何体的三视图．G2【答案解析】A

解析：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：

故选A．【思路点拨】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．9.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（

）种A.24

B.36

C.48

D.60

参考答案：A由题意知.故选A.10.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则=A．{5，7} B．{2，4} C．{1，3，5，6，7} D．{2，4，8}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行右图所示的程序框图，则输出的值为

.参考答案：12.（不等式选讲选做题）己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是

.参考答案：略13.已知指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），则在（0，10]内任取一个实数x，使得f（x）＞16的概率为．参考答案：【考点】几何概型；指数函数的单调性与特殊点．【分析】设函数f（x）=ax，a＞0且a≠1，把点（2，4），求得a的值，可得函数的解析式，进而结合几何概型可得到答案．【解答】解：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），代入可得a2=4，解得a=2，∴f（x）=2x．又∵x∈（0，10]，若f（x）＞16，则x∈（4，10]，∴f（x）＞16的概率P==，故答案为．14.执行右上图所示的程序框图,则输出__________.A.9

B.10

C.16

D.25参考答案：C15.以下命题：①若则∥；②在方向上的投影为；③若△中,则；④若非零向量、满足，则.⑤已知△ABC中，则向量所在直线必过N点。其中所有真命题的序号是_____________.参考答案：①②④⑤略16.已知，满足不等式组那么的最小值是___________.参考答案：17.设a、b为两非零向量，且满足|a|＝2|b|＝|2a+3b|，则两向量a、b的夹角的余弦值为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

参考答案：解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.

（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

（II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角Q—BP—C的余弦值为

略19.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn?bn+2＜bn+12．参考答案：考点：等差数列的通项公式；等比数列的性质．分析：（Ⅰ）将点代入到函数解析式中即可；（Ⅱ）比较代数式大小时，可以用作差的方法．解答： 解：解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1﹣an=1，又a1=1，所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1﹣bn=2n．bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵bn?bn+2﹣bn+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2?2n+1+1）=﹣2n＜0∴bn?bn+2＜bn+12解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=1bn?bn+2﹣bn+12=（bn+1﹣2n）（bn+1+2n+1）﹣bn+12=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1=2n（bn+1﹣2n+1）=2n（bn+2n﹣2n+1）=2n（bn﹣2n）=…=2n（b1﹣2）=﹣2n＜0∴bn?bn+2＜bn+12点评：2015届高考考点：本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．易错提醒：第二问中的比较大小直接做商的话还要说明bn的正负，而往往很多学生不注意．备考提示：对于递推数列要学生掌握常见求法，至少线性的要懂得处理．20.函数的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）由图可得，所以.

………………3分当时，，可得，.………………6分（Ⅱ）

.

……9分.当，即时，有最小值为.……12分

略21.（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，求证：f′（）＞k．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再根据a的值进行分类讨论，得到函数的单调区间．（2）先求导，根据题意，由直线的斜率公式可得k的值，利用分析法证明f′（）＞k．转化为只需要证明，再构造函数g（t），判断函数在（0，1）上单调性，问题得以证明解：（1）（i）当时，2x2﹣x﹣a≥0恒成立，即f'（x）≥0恒成立，故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．（ii）当时，f′（x）＞0?2x2﹣x﹣a＞0，解得：∵x＞0，∴函数f（x）的单增区间为，，单减区间为．（iii）当a＞0时，由f′（x）＞0解得：．∵x＞0，而此时＜0，∴函数f（x）的单增区间为，单减区间为．综上所述：（i）当a≤﹣时，f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．（ii）当时，f（x）的单增区间为，，单减区间为．（iii）当a＞0时，f（x）的单增区间为，单减区间为．（2）证明：∵∴由题意得，则：=注意到，故欲证，只须证明：．因为a＞0，故即证：令，则：故g（t）在（0，1）上单调递