理论力学-第23-24课时

定轴转动和平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院定轴转动和平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院基本知识回顾刚体定轴转动内容提要平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院一.基本知识回顾1.转动惯量张量定义问题1.1：惯量张量组元有什么特点？温州大学物理与电子信息工程学院2.惯量张量表示角动量和转动动能基本知识回顾问题1.2：矩阵相乘的规律是什么？例题1：一个质点系由三个有质量的质点和三个无质量的轻杆组成一个刚体。其中，质量为4m的质点坐标为(a,-a,0)质量为3m的质点坐标为(-a,a,0)，质量为2m的质点坐标(a,a,0)。求关于坐标原点的惯量张量温州大学物理与电子信息工程学院基本知识回顾解:(1)根据定点转动惯量的定义，得：因此，对原点的转动惯量张量为：思考1.1：转动惯量是否与坐标选取有关？二.刚体定轴转动温州大学物理与电子信息工程学院1.刚体定轴基本公式问题2.1：如何转化为关于定轴转动动力学的公式？问题2.2：定轴转动的运动学公式如何？根据瞬时轴与定点转动惯量关系温州泰顺仕阳镇仕水碇步刚体定轴转动温州大学物理与电子信息工程学院温州苍南玉苍山仙人碇步刚体定轴转动温州大学物理与电子信息工程学院例题2:人类的腿行走时，使得一个正常身材的人会发现以一种角秒钟，走一步的自然摆动的步频，行走是很舒服的。而试图以较快或者较慢的步频行走会感到不舒服。如果忽略了膝关节效应，请用一种简单模型来计算该频率。解：选取均匀杆模型进行估算，则自然步频率等于杆的固有频率时（共振）最舒服，如图：Omglθ取l为1米，则步频率为1.62秒刚体定轴转动温州大学物理与电子信息工程学院三.平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院1.平面平行运动的定义刚体中的任一点始终在平行于某固定平面的平面内运动。问题3.1：描述平面平行运动的物理量有几个？如何描述？平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院2.平面平行运动的运动学公式平面平行可分解为绕A点的转动和A点平动yxPPAAy’x’速度表达式：思考3.1：如何得到速度矢量的分量呢？P点对O点的绝对加速度A点的相对O点加速度P点的相对A点加速度在固定参考系的表示加速度表达式：平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院刚体角速度不为零，但是在任一时刻恒有一点的速度为零，称为转动瞬心。转动瞬心：平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院3.平面平行运动的动力学公式Oxyy’x’Cθ平面平行一般分解为绕质心C点的转动和质心C点平动在保守力作用下，刚体的机械能守恒质心的平动微分方程:绕质心的定轴转动微分方程:思考3.2：动能分为那几个部分？满足什么规律？平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院中国台球神童丁俊晖平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院例题3：用一水平台球棒打击一个半径为R，质量为M的台球，击球点在台球桌面上方高h处，如图所示。求使台球作无滑动滚动的h值等于多少？hR解：设作用于台球上的冲力为f,作用时间为Δt，则在打击前后对质心的动量定理和角动量定理，分别为:易得:根据初始条件，可得:无滑动滚动条件:得:平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院例题4：一面粗糙另一面光滑的平板，质量为M,将光滑的一面放在水平桌面上，木板上放一质量为m的球。若板沿着其长度方向突然有一速度V,问经过多少时间后,球开始滚动而不滑动？平面平行运动温州大学物理与电子信息学院解：小球和平板的情况如图所示。问题1:平板做什么运动？为什么？平板只受到小球给它的摩擦力作用，是阻力。因此它做减速运动问题2:小球做什么运动？为什么？平面平行运动温州大学物理与电子信息学院小球只受到平板给它的摩擦力作用，其运动分解为质心的平动和绕质心的转动，其运动方程分别为：思考1:A点的速度用什么公式求解？因此，A点的速度为：思考2：小球在平板上面做纯滚动的条件是什么？平面平行运动温州大学物理与电子信息学院纯滚动表明没相对滑动，则A点对地面的速度和平板对地面的速度应该相等：据此可以求得达到纯滚动的条件为：因此，时间为：思考3：接下来小球和平板受力情况如何？平面平行运动温州大学物理与电子信息学院此时，平板和小球的A点没相对滑动，没有滑动摩擦力，因此，平板做匀速运动，而小球则做纯滚动。问题3:此时,平板匀速运动的速度和小球纯滚动时的质心速度分别为多少？因为：得：问题4:此时,平板和球构成的体系总动量多少？思考4：如果小球的质量远远大于平板质量，则情况如何？平面平行运动温州大学物理与电子信息学院总动量为平板的动量和小球质心动量之和：因此：思考5：这意味着什么？小球和平板组成的体系初动量和末动量相等，实际上该体系在整个过程中因为不受外力作用，体系的动量守恒。例题5：一绕其对称轴以角速度ω旋转的硬币被放置在一个水平面上，如图所示，当它停止滑动后，滚离的速度等于多少？ωxyo解：建立坐标如图，则对质心的牛顿第二定律和转动定律分别为：初始条件为：温州大学物理与电子信息工程学院平面平行运动求解运动微分方程，可得：不发生滑动的约束条件为：因此：求得：此时，质心的速度：温州大学物理与电子信息工程学院平面平行运动平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院例题6：如图所示，将棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾斜角为α，如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾斜角多大时，棒与墙分离？棒的长度为2l.解：刚体作平面平行运动，则:棒与墙分离的条件是:平面平行运动温州大学物理与电子信息工程学院思考:下面思路如何?得到支持力T