高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版第2章第2章函数的单调性

2．函数的单调性1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点)2．掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点)3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)[基础·初探]教材整理增函数与减函数的定义阅读教材P44～P45“例1”以上部分，完成下列问题．1．增函数与减函数的定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图2­1­6(1)；当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图2­1­6(2)．(1)(2)图2­1­62．函数的单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f(x)＝eq\f(1,x)，因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)是增函数．()(2)增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x1、x2”可以改为“存在两个自变量的值x1、x2”．()(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．()【解析】(1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”．(3)×.反例：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x∈1，2]，,－2，x∈2，3.))【答案】(1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．【解析】因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．【答案】(－∞，1)[小组合作型]求函数的单调区间求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.【精彩点拨】(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．【自主解答】(1)函数f(x)＝－eq\f(1,x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，(1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[再练一题]1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.【导学号：60210039】【解析】因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．【答案】(a，＋∞)函数单调性的判定与证明(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝eq\f(1,x) D．f(x)＝x2＋2x(2)用定义法证明函数f(x)＝eq\f(x2,x2－1)在区间(0,1)上是减函数．【精彩点拨】(1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．【自主解答】(1)(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上为减函数．(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．【答案】D(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)－1)－eq\f(x\o\al(2,2),x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x2－x1x2＋x1,x1－1x1＋1x2－1x2＋1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以，函数f(x)＝eq\f(x2,x2－1)在区间(0,1)上是减函数．判断函数的单调性除用定义判断外，还可用图象法、直接法等．1．图象法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性．2．直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们的单调性．[再练一题]2．已知函数f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．【证明】设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，∵f(x2)－f(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,x2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,x1)))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)>0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．[探究共研型]函数单调性的应用探究1根据函数单调性的定义，若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值是越大还是越小？如果函数f(x)是减函数呢？【提示】若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值就越大；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当自变量x越大，函数值就越小．探究2若函数f(x)＝ax2－4ax＋3，显然其图象的对称轴为x＝2，那么f(4)>f(3)一定成立吗？【提示】不一定．如果函数f(x)是图象开口向上的二次函数，则f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则f(4)>f(3)；如果函数f(x)是图象开口向下的二次函数，则f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，则f(4)<f(3)．探究3若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是什么？【提示】因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a≤2.(1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则()A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a)(2)如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为()A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠3【精彩点拨】(1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．(2)分析函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围．【自主解答】(1)因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，没法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C.(2)函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口朝上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.【答案】(1)C(2)C1．已知函数的单调性比较函数值的大小，首先要确定自变量的大小，并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内，然后利用函数的单调性确定函数值的大小．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．[再练一题]3．已知函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围________．【解析】设x2>x1>－2，f(x2)－f(x1)＝eq\f(ax2＋1,x2＋2)－eq\f(ax1＋1,x1＋2)＝eq\f(2a－1x2－x1,x2＋2x1＋2)，因为f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，所以eq\f(2a－1x2－x1,x2＋2x1＋2)<0，因为(x2＋2)(x1＋2)>0，x2－x1>0，所以2a－1<0，所以a<eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))1．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是()\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)\f(x1－x2,fx1－fx2)>0【解析】因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)．【答案】C2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)【解析】易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．【答案】B3．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，函数f(x)＝－eq\f(1,x)，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能【解析】∵函数f(x)＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)上是增函数，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)．【答案】B4．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围为________.【导学号：97512023】【解析】∵f(x)是定义在R上的增函数，又∵f(x－2)<f(1－x)，∴x－2<1－x，∴x<eq\f(3,2)，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))5．证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－1,0)上是减函数．【证明】设－1＜x1＜x2＜