山西省大同市天镇县南高崖乡中学高三数学理期末试卷含解析

山西省大同市天镇县南高崖乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66参考答案：B【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1?n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2?12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3?22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4?32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10?92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积．【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2的正方形，AE，DF为底面的垂线，且AE=2，DF=1，∴V=VE﹣ABC+VC﹣ADFE=+=．故选D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．3.在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（

）A．1-

B．1-

C．1-

D．1-

参考答案：B4.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角

Ｄ．没有一个内角是钝角参考答案：Ｃ5.若函数同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图像关于直线对称;③在区间上是增函数，则的解析式可以是（

）A.

B.C.

D.参考答案：A6.已知锐角的面积为，，则角的大小为

（

）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°参考答案：B7.在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点（0，-5）距离最大的点的坐标是（

）.

(A)

(5，1)

(B)（4，1）

(C)（＋2，-3）

(D)（3，-2）参考答案：D略8.某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=1 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y+1）2= D．（x﹣1）2+（y+1）2=参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；系统抽样方法；圆的标准方程．【分析】根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出A（1，﹣1）到直线的距离，可得半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴a=40，b=24，∴直线ax+by+8=0，即5x+3y+1=0，A（1，﹣1）到直线的距离为=，∵直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，∴r=，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=，故选C．【点评】本题考查分层抽样，考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．9.已知复数z满足(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】余弦定理.C8【答案解析】B

解析：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB

把已知AC=，BC=2B=60°代入可得，7=AB2+4-4AB×

整理可得，AB2-2AB-3=0,∴AB=3,作AD⊥BC垂足为D

Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=，即BC边上的高为,故选B.【思路点拨】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB即可得到结果.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若＝2，则sin2α＝

．参考答案：命题意图：考查同角三角函数基本关系式。12.设随机变量的概率分布为

.参考答案：答案：4

13.双曲线的两条渐近线的方程为

▲

.参考答案：【知识点】双曲线的简单性质．H6

【答案解析】

解析：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【思路点拨】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．14.为了近似估计的值，用计算机分别产生个在的均匀随机数和，在组数对中，经统计有组数对满足，则以此估计的值为________．参考答案：设，则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积，由图知，，又，所以15.已知函数y=Asin(wx+j)（A>0,w>0）的部分图象如图所示，则此函数的最小正周期为

▲

．参考答案：p

略16.若函数是偶函数，则函数的最小值为

.参考答案：略17.（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆上的动点到直线的距离的最大值是

。参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足递推公式an=2an－1+1（n≥2），其中a4=15.（I）求a1，a2，a3；（II）求数列{an}的通项公式；（III）求数列{an}的前n项和Sn.参考答案：解析：（I）a1=1，a2=3，a3=7；（II）由an=2an－1+1，得：an+1=2(an－1+1)，∴{an+1}是首项a1+1=2，公比为2的等比数列，∴an+1=2n，即an=2n－1，（III）Sn=－n=2n+1－n－2.19.已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）

极小

∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．点评：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题20.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=BC，E是底边BC上的一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C1﹣ABED，且C1A=AB．（1）求证：C1A⊥平面ABED；（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）设AD=AB==1，利用勾股定理的逆定理可以判断C1A⊥AD，C1A⊥AE；（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，明确平面的法向量的坐标和的坐标，利用直线与平面的法向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答．【解答】解：（1）设AD=AB==1，则C1A=1，C1D=，∴，∴C1A⊥AD，…又∵BE=，C1E=∴AE2=AB2+BE2=∴∴C1A⊥AE…又AD∩AE=E∴C1A⊥平面ABED；…（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，…则B（1，0，0），C1（0，0，1），E（1，，0），D（0，1，0），∵M是C1E的中点，∴M（），∴=（），…设平面C1DE的法向量为=（x，y，z），，由即，令y=2，得=（1，2，2）…设直线BM与平面C1DE所成角为θ，则sinθ=||=∴直线BM与平面C1DE所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及利用空间向量解决线面角的问题，属于中档题．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．【解答】解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…（15分）【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．22.(本大题满分13分)

已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在等差数列{bn}，使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…anb1=2n+1-n-2对一切

n∈N*都成立?若存在，求出bn；若不存在，说明理由．参考答案：(1)解：∵{an}为递增的等比数列，∴其公比为正数

又{a1，a3，a5}{－10，－6，－2，0，1，3，4，16}

∴a1=1，a3=4，a5=16

2分

故

∴{an}的通项公式为

4分(2)解：假设存在满足条件的等差数列{bn}，其公差为d

当n=1时，a1b1=1，又a1=1，∴b1=1

当n=2时，a1b2+a2b1=4，即b2+2b1=4，∴b2=2

6分

故d=b2－b1=1，bn=b1+(n－1)d=n