山西省大同市小村乡辛寨中学高三数学文月考试题含解析

山西省大同市小村乡辛寨中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（?UP）∩Q=（）A．{1} B．{2，4} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则?UP={2，4，6}，所以（?UP）∩Q={2，4}．故选：B．2.已知是上的增函数，令，则是上的

A.增函数

B.减函数

C.先增后减

D.先减后增

参考答案：B3.设，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

考点：利用函数的性质比较大小.4.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.设集合，，为虚数单位，R，则为（

）A.(0,1)

B.(0,1]

C.[0,1)

D.[0,1]参考答案：6.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AC=BC=4，，则二面角A-PB-C的大小的正弦值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略7.下列不等式一定成立的是（

）A．

B．C．

D．A中，。

B中，；。

C中，。

D中，。参考答案：C8.已知全集,,则A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知，则(

)A．

B.

C.

D.参考答案：【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】B

cos(-2)=-cos2=2-1=-故选B。【思路点拨】根据诱导公式及二倍角公式求得。10.若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是(

) A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+） C．f（x）=sin（4x+） D．f（x）=cos6x参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．解答： 解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=﹣1，是最小值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设2a＝5b＝m，且，则m＝________．参考答案：由已知条件a＝log2m，b＝log5m，又，则logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，解得m＝．12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于_____________.

参考答案：

本题主要考查了直线与直线以及直线与平面的位置关系，以及线段长度的求法。属容易题。若,E为AD的中点，那么F为CD的中点所以13.已知球O的表面积为，点A，B，C为球面上三点，若，且AB=2,则球心O到平面ABC的距离等于__________________．参考答案：

2

14.函数的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则的最小值为___________.参考答案：4略15.已知是两个不同的平面，是一条直线，且，则是的

▲条件。(填：充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)参考答案：充分不必要若，则。当时，不一定有，所以是的充分不必要条件。16.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为

▲

．参考答案：略17.自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有

份．参考答案：450【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用分层抽样性质和概率性质求解．【解答】解：∵用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，∴文科试卷共有600×=150，∴理科试卷共有600﹣150=450份．故答案为：450．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在边长为4的等边△ABC（如图1所示）中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F，现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如图2所示）．（1）求证：平面ABC⊥平面AEF；（2）若SBCNM=3S△AMN，求直线AB与平面ANC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AE⊥BC，AF⊥MN，MN⊥EF，从而MN⊥平面AEF，进而BC⊥平面AEF，由此能证明平面ABC⊥平面AEF．（2）由S四边形BCNM=3S△AMN，得，以F为原点，FE，FN，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出直线AB与平面ANC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵MN∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF，又AF∩FE=F，∴MN⊥平面AEF，∵BC∥MN，∴BC⊥平面AEF，∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面AEF．解：（2）由S四边形BCNM=3S△AMN，得，∵△ABC∽△AMN，且MN∥BC，∴（）2=，∴MN=，以F为原点，FE，FN，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角系，则F（0，0，0），A（0，0，），B（），N（0，1，0），C（），=（0，1，﹣），=（），设平面ANC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣1，，1），=（），设直线AB与平面ANC所成的角为α，则sinα==，∴直线AB与平面ANC所成角的正弦值为．19.（本小题满分13分）如图，三棱柱中，，，．证明：；若，，求二面角的余弦值．参考答案：（1）证明详见解析；（2）.

平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，在等边三角形中，先解出边CO和的长，再利用分析出是直角三角形，得到线段的两两垂直关系，从而建立空间直角坐标系，得到平面和平面ACB的法向量，再利用夹角公式计算二面角的余弦值.为等边三角形．，…………..3分又因为平面，平面，．平面．…………5分又平面，因此．……6分在等边中．在中．是直角三角形，且，故．………………8分、平面，．平面.又平面，故．、平面，，故平面．在中，．．所以二面角的余弦值．…………13分分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由已知得，，，.设为平面的法向量，则，，，，又，，.取，则，，故．……11分又是平面的法向量，二面角的大小等于或其补角．考点：线线垂直、线面垂直、二面角.20.（本小题满分13分）我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克／立方米以下的空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间的空气质量为二级；75微克／立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示，

请据此解答如下问题：

(I)求m的值，并分别计算频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高；

(Ⅱ)通过频率分布直方图估计这m天的PM2.5日均值的中位数（结果保留分数形式）；

(Ⅲ)若从[75，95）中任意抽取一个容量为2的样本来研究汽车尾气对空气质量的影响，求至少有一个数据在[80，90）之间的概率．参考答案：21.（本题满分12分）已知方程。（1）若是它的一个根，求k的值；（2）若，求满足方程的所有虚数的和。参考答案：（1）

（2）19022.已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.⑴若，，（），求证：数列是等比数列；⑵若数列是等比数列，求，的值；⑶若，且，求证：数列是等差数列.参考答案：（1）证明：若，则当(),所以，即，所以，

……………2分又由，，得，，即，所以，故数列是等比数列．……………4分（2）若是等比数列，设其公比为（），当时，，即，得，①当时，，即，得，②当时，，即，得，③②?①?，得，③?②?，得，解得．代入①式，得．……………