山西省大同市同家梁矿中学2021年高三数学文联考试题含解析

山西省大同市同家梁矿中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍一次规律截取，如图所示的程序的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是参考答案：B2.函数的定义域为，则=（

）A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：B3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A. B.5 C. D.4参考答案：A【分析】根据三视图判断出几何体的结构，进而计算出几何体的表面积.【详解】画出三视图对应的原图如下图四棱锥，其中,，故四棱锥的表面积为.故选A.【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查四棱锥表面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.4.一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．解答： 解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p=．故选C．点评：本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．5.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：C略6.复数等于

（

）A．

B．0

C．2

D．－2参考答案：B7.已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先根据实轴长为2，解得双曲线的方程为：x2﹣y2=1，进一步求出离心率．【解答】解：已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，即2m=2解得：m=1即a=1所以双曲线方程为：x2﹣y2=1离心率为故选：B【点评】本题考查的知识要点：双曲线的方程，及离心率的求法8.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.函数

为（

）．A．奇函数且在上是减函数

B．奇函数且在上是增函数C．偶函数且在上是减函数

D．偶函数且在上是增函数参考答案：C10.在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出．【解答】解：“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．因此“”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的值为

；参考答案：12.设函数对其定义域内的任意实数，则称函数为上凸函数．若函数为上凸函数，则对定义域内任意、、，…，都有（当时等号成立），称此不等式为琴生不等式。现有下列命题：①是上凸函数；②二次函数是上凸函数的充要条件是a>0；③是上凸函数，若是图象上任意两点，点C在线段AB上，且；④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则的最大值是。其中，正确命题的序号是

（写出所有你认为正确命题的序号）．参考答案：①③④13.已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣5]【分析】由题意可得f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离参数，得到a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，当x=2时，f（x）=0恒成立，当x≠2时，∴|x+2|+a≤0，∴a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：由图象可知ymin=﹣5，a≤﹣5，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，故答案为：（﹣∞，﹣5]【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．14.已知函数对任意的，有．设函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围为

．参考答案：15.关于函数必定是的整数倍；（2）的表达式可改写为；（4）

____________参考答案：（2），（3）16.在极坐标系中，已知点P（2，），Q为曲线ρ=cosθ上任意一点，则|PQ|的最小值为

参考答案：17.若直线y=kx与曲线y=x+e﹣x相切，则k=

．参考答案：1﹣e【分析】设切点为（x0，y0），求出y=x+e﹣x的导数，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．【解答】解：设切点为（x0，y0），则y0=x0+e﹣x0，∵y′=（x+e﹣x）′=1﹣e﹣x，∴切线斜率k=1﹣e﹣x0，又点（x0，y0）在直线上，代入方程得y0=kx0，即x0+e﹣x0=（1﹣e﹣x0）x0，解得x0=﹣1，∴k=1﹣e．故答案为：1﹣e．【点评】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知曲线在点处的切线平行直线，且点在第三象限.（Ⅰ）求的坐标；（Ⅱ）若直线,且也过切点,求直线的方程.参考答案：【知识点】导数的几何意义；直线方程的求法.B12

【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由，得，…………2分由平行直线得，解之得.当时，;

当时，.…4分又∵点在第三象限,

∴切点的坐标为…………6分（Ⅱ）∵直线,

的斜率为4,

∴直线的斜率为,…………8分∵过切点,点的坐标为(－1,－4)∴直线的方程为

………………11分即

………………12分【思路点拨】（Ⅰ）先对原函数求导，再结合点在第三象限可求坐标；（Ⅱ）利用两直线垂直的充要条件求出斜率，然后利用点斜式求出直线方程。19.（本小题满分12分）

随着旅游观念的转变和旅游业的发展，国民在旅游休闲方面的投入不断增多，民众对旅游的需求也不断提高，某村村委会统计了2011年到2015年五年间每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：（1）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数只好有1年多余20个的概率；（2）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，并判断它们之间是正相关还是负相关；（3）利用（2）中所求的直线方程估计该村2018年在春节期间外出旅游的家庭数。参考：用最小二乘法求线性回归方程系数的公式：参考答案：（1）；（2）42．（1）从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10种，至少有1年多于20人的事件有:（2011，2014）,（2011，2015）,（2012，2014），（2012，2015），,（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7种,则至少有1年多于10人的概率为.……………5分（2）由已知数据得，……………7分，……………8分，……………9分所以，，……………10分所以，回归直线的方程为，……………11分则第2018年的估计值为．……………12分20.（本小题满分14分）数列前项和为，点在直线上．（1）证明数列为等比数列，并求数列通项公式；（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请写出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

参考答案：解：（1）由已知………1分

∴………3分

∴………………4分∴数列是公比为的等比数列………………5分

……………………6分

……7分（2）设存在，且，使得成等差数列……………8分

则……………9分即………10分

∴……………11分

，而，为偶数，故等式不成立……13分

∴符合条件的三项不存在…………21.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．22.命题，命题．（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．参考答案：（1）；（2）.试题分析：(1)先分别求命题真时的范围与命题真时的范围，又“或”为假命题等价于“均为假命题”即可求的取值范围；(2)）非,所以“非”是“”的必要不充分条件，解之即可.试题解析：（1）关于命题，时，显然不成立，时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分时，只需即可，解得：，故为真时：；．．．．．．．．．．．．．．．．