高中数学北师大版第二章平面向量4平面向量的坐标 2023版第2章4平面向量的坐标

§4平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)[基础·初探]教材整理1平面向量的坐标表示阅读教材P88～P89“”以上部分，完成下列问题．图2­4­1如图2­4­1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的坐标相同．()【解析】(1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标．(3)正确．两相等向量的坐标相等．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示阅读教材P89～P91“练习”以上部分，完成下列问题．1．平面向量的坐标运算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；③λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\o(OB,\S\UP6(→))－eq\o(OA,\S\UP6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．2．向量平行的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则x1y2－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2).(2)文字语言描述向量平行的坐标表示①定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．②定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.()(2)向量a＝(1,2)与b＝(－3，－6)共线且同向．()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2).()【解析】(1)正确．a∥b，则a＝λb可得x1y2＝x2y1.(2)错误．a＝－3b，a与b共线且反向．(3)错误．若y1＝0，y2＝0时表达式无意义．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型]平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(AC,\S\UP6(→))，eq\o(BC,\S\UP6(→))，eq\o(BD,\S\UP6(→))的坐标．【精彩点拨】eq\x(表示出各点的坐标)→eq\x(用终点坐标减去始点坐标)→eq\x(得相应向量的坐标)【自主解答】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝(1－2，eq\r(3)－0)＝(－1，eq\r(3))，eq\o(BD,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2，\f(\r(3),2)－0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))).1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．[再练一题]1．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设eq\o(OA,\S\UP6(→))＝a，eq\o(OB,\S\UP6(→))＝b，eq\o(OC,\S\UP6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(BC,\S\UP6(→)).【解】如图所示，以点O为原点，eq\o(OA,\S\UP6(→))所在射线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．∵|eq\o(OB,\S\UP6(→))|＝1，∠AOB＝150°，∴B(－cos30°，sin30°)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).∵|eq\o(OC,\S\UP6(→))|＝3，∴C(－3sin30°，－3cos30°)，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3))).又∵A(2,0)，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))－(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－2，\f(1,2)))，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－3,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)\r(3)－\f(1,2))).向量坐标的线性运算已知点A(－1,2)，B(2,8)及eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(DA,\S\UP6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\S\UP6(→)).求点C，D和eq\o(CD,\S\UP6(→))的坐标.【导学号：66470051】【精彩点拨】先求出eq\o(AB,\S\UP6(→))的坐标，然后求eq\o(AC,\S\UP6(→))，eq\o(DA,\S\UP6(→))的坐标，最后求出eq\o(OC,\S\UP6(→))，eq\o(OD,\S\UP6(→))及eq\o(CD,\S\UP6(→))的坐标．【自主解答】∵A(－1,2)，B(2,8)，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(1,2)，eq\o(DA,\S\UP6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(1,2)，设O为坐标原点，则eq\o(OC,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))＋eq\o(AC,\S\UP6(→))＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，eq\o(OD,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))＋eq\o(AD,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))－eq\o(DA,\S\UP6(→))＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此eq\o(CD,\S\UP6(→))＝(－2，－4)．1．向量的坐标形式的线性运算，主要是利用加、减、数乘运算法则进行．2．平面向量线性运算的坐标表示，把平面向量的线性运算转化为实数运算．这样使向量的线性运算更简便，其前提是先求出参与运算的向量的坐标．[再练一题]2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\S\UP6(→))＝a，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝b，eq\o(CA,\S\UP6(→))＝c，且eq\o(CM,\S\UP6(→))＝3c，eq\o(CN,\S\UP6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c的坐标；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量eq\o(MN,\S\UP6(→))的坐标．【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\S\UP6(→))＝eq\o(OM,\S\UP6(→))－eq\o(OC,\S\UP6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\S\UP6(→))＝3c＋eq\o(OC,\S\UP6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\S\UP6(→))＝eq\o(ON,\S\UP6(→))－eq\o(OC,\S\UP6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\S\UP6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\S\UP6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\S\UP6(→))＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．[探究共研型]向量平行的坐标表示探究1设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若向量a，b共线，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】这两个向量的坐标应满足x1y2－x2y1＝0，反之成立．即a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.探究2如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？【提示】当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【精彩点拨】eq\x(由a，b的坐标)→eq\x(求ka＋b，a－3b坐标)→eq\x(由向量共线的条件列方程组)→eq\x(求k的值)→eq\x(判断方向)【自主解答】法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).即当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，∵λ＝－eq\f(1,3)＜0，∴ka＋b与a－3b反向．法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).此时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．∴当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解.[再练一题]3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若eq\o(AB,\S\UP6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．【解】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝λeq\o(BC,\S\UP6(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).1．下列各组向量共线的是()A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(2,3)，b2＝(3,2)C．a3＝(1,2)，b3＝(7,14)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6,4)【解析】因为b3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a3，所以a3与b3共线．【答案】C2．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝()A．(8，－1)B．(0,7)C．(7,0)D．(－1,8)【解析】a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．【答案】B3．已知A(4,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(3,2)))，若A，B，C共线，则x＝.【导学号：66470052】【解析】因为eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4，－\f(5,2)))，所以eq\f(－3,2)(x－4)＝eq\f(15,2)，解