高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 第二章滚动检测

第一、二章滚动检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．不共面的四点可以确定平面的个数为()A．2B．3C．4D．答案：C解析：不共面的四个点中，任三点都是不共线的，因为任意三点都可以确定一个平面，共可以确定4个平面．2．若a⊂α，b⊂β，α∩β＝c，a∩b＝M，则()A．M∈cB．M∉cC．M⊂cD．M⊄c答案：A解析：注意点、线、面关系的符号表示，结合公理3可知，M∈c.3．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，则EF的长是()A．1\r(2)\f(\r(2),2)\f(1,2)答案：B解析：设BC中点为M，连接EM，FM，则因为SB＝AC＝2，所以EM＝FM＝1，又SB⊥AC，所以△EFM为等腰直角三角形，所以EF＝eq\r(2).4．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为()答案：D5．圆锥的高伸长为原来的2倍，底面半径缩小为原来的eq\f(1,2)，则它的体积是原来体积的()\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)\f(6,5)答案：A解析：设原圆锥高为h，底面面积为S，则V＝eq\f(1,3)hS，新圆锥的高为2h，底面面积为eq\f(S,4)，∴V′＝eq\f(1,3)×2h×eq\f(S,4)＝eq\f(1,2)V.6．已知正△ABC的边长为a，以它的一边为x轴，对应的高线为y轴．画出水平放置的直观图A′B′C′，则△A′B′C′的面积为()\f(\r(3),4)a2\f(\r(3),8)2C\f(\r(6),8)a2\f(\r(6),16)a2答案：D解析：如图：AB＝A′B′＝a，OC＝eq\f(\r(3),2)a，则O′C′＝eq\f(\r(3),4)a.∠C′O′B′＝45°.∴C′到边A′B′的距离d＝O′C′sin45°＝eq\f(\r(6),8)a.S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·d＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.7．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中点，F是BB1的中点，设过点C1，E，F三点的平面为α，则正方体被平面α所截的截面的形状为A．菱形B．矩形C．梯形D．五边形答案：A解析：设正方体棱长为a，连接AE，C1F易发现AE∥C1F，所以平面α经过点A，所以截面是四边形AEC1F，根据勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝eq\f(\r(5),2)a，所以截面为菱形8．三条直线a、b、c两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则()A．m＝2，n＝2B．m＝2，n＝6C．m＝3，n＝7D．m＝3，n＝8答案：C9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列推断不正确的是()A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC答案：D解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，A正确，由BC⊥平面PAB得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，C正确，而PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，B正确，在平面PBC中，∵PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，故PB不垂直平面ADC，D错误．10．已知正四棱锥P­ABCD(底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥)的侧棱长为2eq\r(3)a，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A出发环绕侧面一周后回到点A的最短距离为()A．2eq\r(2)aB．4aC．6aD．12eq\r(3)a答案：C解析：沿着PA将四棱锥展开，在平面中求解．11．如图所示，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案：D解析：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A项不成立；又平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，D项正确．12．如图(1)，等腰三角形ABC满足AB＝AC＝10，BC＝12，D、E、F为AB、BC、AC的中点，现将△ADF，△BDE，△CEF分别沿DF，DE，EF折起使得A，B，C重合为一点P形成一个三棱锥P－DEF，如图(2)，则三棱锥P－DEF的体积为()A．3eq\r(7)B．6eq\r(7)C．12eq\r(7)D．18eq\r(7)答案：B解析：由题意知PD＝PF＝DE＝EF＝5，DF＝PE＝6，取DF的中点G，连接PG，EG，则PG⊥DF，EG⊥DF，且PG＝EG＝eq\r(52－32)＝4，在等腰三角形PEG中，底边PE上的高h＝eq\r(PG2－\f(1,2)PE2)＝eq\r(7)，∴S△PEG＝eq\f(1,2)PE·h＝3eq\r(7)，又DF⊥平面PEG，∴VP－DEF＝VD－PEG＋VF－PEG＝eq\f(1,3)DG·S△PEG＋eq\f(1,3)FG·S△PEG＝eq\f(1,3)DF·S△PEG＝eq\f(1,3)×6×3eq\r(7)＝6eq\r(7).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝1，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝答案：2eq\r(2)解析：如图在Rt△ADC中，DP＝2，DQ＝2，∴PQ＝2eq\r(2).14．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，其中AB＝BC＝2，AA1＝4，且E是侧棱BB1的中点，如图所示，则三棱锥A1－ADE的体积为________答案：eq\f(8,3)解析：VA1－ADE＝VE－A1AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×2＝eq\f(8,3).15．若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________．答案：相交或平行或异面16．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上述命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．答案：(1)(2)解析：本题考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理．真命题的序号是(1)(2)．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点(1)求截面△AEC的面积；(2)截面△AEC将正方体分成两部分，求其体积之比．解：(1)如图所示，△AEC中，AE＝EC＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，AC＝eq\r(CD2＋AD2)＝2eq\r(2)，取AC中点O，连结OE，则OE⊥AC.OE＝eq\r(EC2－OC2)＝eq\r(5－2)＝eq\r(3)，∴S△AEC＝eq\f(1,2)AC·OE＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).(2)VE－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·ED＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·2·2·1＝eq\f(2,3).而V正方体＝23＝8，∴V剩＝V正方体－VE－ACD＝8－eq\f(2,3)＝eq\f(22,3).∴V剩：VE－ACD＝eq\f(22,3)：eq\f(2,3)＝11：1.18．(12分)如图，在侧棱垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F是B1C求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)A1F∥平面ADE证明：(1)因为CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面19．(12分)如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm，高为2cm)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm，母线长为2cm，高为eq\r(所以所求表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π(cm2)，体积V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝2π＋eq\f(\r(3),3)π(cm3)．20．(12分)如图三棱锥A－BCD，在棱AC上有一点F.(1)过该点作一截面与两棱AB、CD平行；(2)求证该截面为平行四边形．解：(1)在平面ABC中，过点F作FG∥AB交BC于点G，在平面ACD中，过点F作FE∥CD交AD于点E，在平面ABD中，过点E作EH∥AB交BD于点H，则截面EFGH为所求．(2)∵FG∥AB，EH∥AB，∴FG∥EH.∵EF∥CD，CD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCD＝GH，∴EF∥GH.∴四边形EFGH为平行四边形．21．(12分)一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中(1)求该圆台的体积；(2)从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台的侧面一周转到B点，求这条绳子的最短长度．解：(1)作出圆台的轴截面，为一等腰梯形，过点A作下底的垂线AE，垂足为E.在Rt△AEB中，AE＝eq\r(202－52)＝5eq\r(15).故圆台的体积为V＝eq\f(1,3)·π·5eq\r(15)(52＋5×10＋102)＝eq\f(875\r(15),3)π.(2)画出圆台所在圆锥的侧面展开图如下：沿母线AB展开，在扇形BOB1中，设OA＝l，圆心角为θ，则lθ＝10π，(l＋20)θ＝20π.代换后知，θ＝eq\f(π,2)，l＝20，连接MB1，即为这条绳子最短长度．在Rt△MOB1中，MB1＝eq\r(302＋402)＝50，所以这条绳子的最短长度为50cm.22．(12分)如图所示，已知四棱锥V—ABCD中，ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，VA＝AB＝1，E是VC中点，截面ADEF交VB于点F.(1)求二面角V—AD—F的大小；(2)求V—ADEF的体积．解：(1)∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，而BC⊂平面VBC，∴AD∥平面VBC.∵AD⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面VBC＝EF.∴EF∥AD，∵E是VC的中点．∴F是VB的中点．∵VA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD.∴VA⊥AD，又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面ABV，而AF⊂平面VAB.∴AD⊥AF，∴∠VAF为二面角V—AD—F的平面角．∵VA＝AB＝1，VA⊥AB，∴△VAB是等腰直角三角形．∵F是VB的中点．∴∠VAF＝45°.即二面角V—AD—F的大小为45°.(2)由(1)知，EF綊eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).AD∥EF，AD⊥AF.∴四边形EFAD是直角梯形．在等腰直