讲义文稿教案

考研数 2012年·第12012

0

0

1 5.设α0α1α1α1，其中cccc

1231.yx1.y渐近线的条数为

(A)α1,α2, (B)α1,α2, (C)α1,α3, (D)α2,α3,

x2

(C) (D) 0设函数f(x)(ex1)(e2x2)...(enxn)，其中n为正整数，则f(0)

A3P3P1AP0

0PαααQ(αααα(1)n1(n (B)(1)n(n (C)(1)n1

(D)(1)n

则Q1AQ

00

12 10

0

0

0 2

0

01

2 若极限limfxy)f(xy在(0,0x0xy

00

00

00

00x若极限limfxy)f(xyxx0 y

设 量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{XY} f(xy在(0,0处可微，则极限

f(x,

5

3

3

5y

xx(D)f(xy在(0,0处可微，则极限limfxxx0 y

）Ikkπexsinxdx(k12,3)，则有）0

(A) (B)2

2

(A)I1I2 (B)I3I2 (C)I2I3 (D)I2I12012.10.31本资 .cn/s/blog 考研数 2012年·第2 。若函数f(x)满足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex，则f(x)

设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵EααT的秩

0

2xx2dx

设A,B,C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)1，P(C)1，则P(AB|C) 2 2grad(xyz

明 1

(本题满分10分)证明：x cosx1 (1x1 设{(x,y,z)|xyz1,x0,y0,z0}，则y2ds Σ考研数 2012年·第3 x2

xf

fx,y)

2

18.(10分)Lycos

(0t)f(tf(0)022L及xy17.(本题满10分

4n24n

已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2y22x到点(2,0)，再沿圆周x2y24

2n

点(0,2)的曲线段。计算曲线积分I 3x2ydx(x3x2L考研数 2012年·第4 1a0 1

22.(本题满分11分 设二维离散型 量(X,Y)的概率分布为01

(本题满分11分)设A ,β= 01 0 a00 A；(Ⅱ)当实数aAxβ

X0 (Ⅰ)P{X2Y}；(Ⅱ)求CovXY,Y(11分)A

1 112，二次fxxx)xTATAx的12

(本题满分11分) 量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ,σ2)与N(μ,2σ2)，其中σ是未知参数且σ0。记ZXY。 1 1 a1

Zfzσ2ZZZZ的简单随机样本，求σ的最大似然估计量σˆ(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求正交变xQy将二次f化为标准

1 σˆ2为σ2的无偏估计量考研数 2011年·第1 2011

10 10

P

10，P

1，则A

00 01

4的拐点是

(A)PP

P1

(C)P

PP(x1)(x2)(x3)(x(A) (B)(2,

(C)(3, (D)(4,

1 2 21 Aαααα4AA的伴随矩阵，若(1,0,1,0)TAx1 Ax0的基础解系可为 设数列{an}单调减少，liman0，Sa(n1,2, ，则幂级数a(x1)n的收敛域

α

α,

α,α,

α,α,k n

1

(A) (B) (C)[0, (D)(0,f(xf(x0f(0)0zf(xlnfy在点(0,0)

F1(x)F2x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2x)是连续函数，则必为概率密度的）(A)）(A)f1(x)f2(B)2f2(x)F1(C)f1(x)F2(D)f1(x)F2(x)f2(x)F1(A)f(0)1,f(0)f(0)1,f(0)(C)f(0)1,f(0)(D)f(0)1,f(0)设 量X与Y相互独立且EX与EY存在记Umax{X,Y}，Vmin{X,Y}则E(UV) (A)EU (B)EX (C)EU (D)EX000设I4lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，则I,J,K的大小关系为 000(A)IJ (B)IK (C)JI (D)KJ 考研数 2011年·第2 。

若二次曲面的方程x23y2z22axy2xz2yz4经正交变换化为y24z24，则a y

xtantdt0xπ的弧长s 设二维 量(X,Y)服从正态分布N(μ,μ;σ2,σ2;0)，则E(XY2) 微分方程yyexcosx满足条件y(0)0的解为y xysin 2

F(xy)

01t

dt

x0y

(本题满分10分 求极限limln(1x)e x0 Lx2y21zxyzzxzdxxdyy2dz 考研数 2011年·第3 (本题满分9分

18.(10分

1ln(11)1

2

n 设a111lnn(n12,，证明数列{a

xy

求方程karctanxx0不同实根的个数，其中k为参数

DD考研数 2011年·第4 T 设向量组α1(1,0,1)T，α(0,1,1)T，α(1,3,5)不能由向量组β(1,1,1)T

量X与Y的概率分布分别β2(12,3)Tβ(3,4,aT3求a的值；(Ⅱ)β1,β2β3用α1α2α3线性表示

PX2Y21求二维 ZXYX与YρXY 1

XXXNμσ)μσ0

A

0

23.(11分

0

A

)

11

求参数σ2的最大似然估计σˆ2Eσˆ2Dσˆ2考研数 2010年·第1 2010

设A为mn矩阵，B为nm矩阵，E为m阶单位矩阵，若ABE，则

秩r(Amr(B(C)秩rA)nr(B

秩rAmr(B秩rA)nr(B2 2

x(xa)(xb)(A) (B) (C) (D)设A为4阶实对称矩阵，且A2AO，若A的秩为3，则A相似于 1 1

1 1

y

设函数zz(x,y)由方程F(,)0确定，其中F为可微函数，且F20，则

x(A) (B) (C)

(D)

x 设m,n均是正整数，则反常积分1ln(1x)dx的收敛性

设 量X的分布函数F(x) 2,0x1，则P{X1} 与mn

n

仅与n(D)与mn

(A) (B)2

12

1n

af(x),xni1j1(ni)(n2j2

设f(x)为标准正态分布的概率密度，f(x)为[1,3]上均匀分布的概率密度，若f(x)

bf2(x),x 0(1x)(1y21 1 ) x y

0(1x)(1

(a0,b0)为概率密度，则a,b应满足 (A)2a3b (B)3a2b (C)ab (D)ab 0(1x)(1 0(1x)(1y2考研数 2010年·第2 设α12,1,0)Tα(1,1,0,2)Tα(2,1,1,a)T。若由ααα2a。

12 设 ，0yln(1u20

d22

t

量X的概率分布为P{Xk}C,k0,1,2,...，则EX2 k xcosxdx 22

求微分方程y3y2y2xex的通解 设Ω{(x,y,z)|x2y2z1}，则Ω的形心竖坐标z 考研数 2010年·第3 求函数f(x)x(x2t)etdt的单调区间与极值1

18.(本题满分10分

2n (Ⅰ)比较1lnt[ln(1t)]ndt与1tnlntdt(n1,2,...)的大小，说明理由

设P为椭球面S：x2y2z2yz1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面01记un1

nlnt[ln(1t)]ndt(n12,...)limun

Σ

(x3)y2z4y2z24yz

dS，其中ΣS位于曲线C考研数 设A λ10,b1。已知线性方程组Axb存在2 求λa；(Ⅱ)Axb

2010年·第4 设二维 Y|f(x,y)Ae2x2xyy,x,y，求常数A及条件概率密度 (y|Y| 已知二次型f(x,x,x)xTAx在正交变换xQy下的标准形为y2y2，且Q的第12 列为(20,2)T )

23.(本题满分11分 1 θθ θ3na1a2a3，使TaiNi为θ的无偏估计量，并求T的方差。3i考研数 2009年·第1 2009

设有两个数列{an}，{bn}，若liman0，则

当bnanbnn n (C)当ba2b2

当bnanbnn n 当ba2b2 当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则

n

nn

n

nn(A)a1,b(B)a1,b(C)a1,b(D)a1,b6666设ααα3维向量空间R3的一组基，则由基α,1α,1α到基αααααα如图，正方形{(xy)x1,y1Dk(k1,2,34)

1223 3

16

1 2

0

12

22

02

(D)

1

6

4 03

10

1 111666 111666yf(x在区间[1,3]

-1D2 D4

6 f21

设A，B均为二阶矩阵，A，B分别为A，B的伴随矩阵，若A2，B3，则分块矩阵 A -1

3B

2B

3A

2A(A)

(B)

x则函数F(x)0f(t)dt的图形为 xF

F

O

O

O

O -1

1

2E(X) F1

F

(A) (B) (C) (D)1-1

1

设 量X与Y相互独立且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P{Y0}P{Y1} 2记FZ(z)为 量ZXY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为 (A) (B) (C) (D)考研数 2009年·第2 若3维列向量α,β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值 2设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，zf(x,xy)，则 22XkS2为np2的无偏估计量，则k xxyaybyx满足条件y(0)2，y(0)0的解为y 求二元函数f(x,y)x2(2y2)ylny的极值已知曲线L:yx2(0x2)，则xds L设Ω{(x,y,z)x2y2z21}，则z2dxdydz Ω考研数 2009年·第3 n(本题满分9分 设an为曲线yx与y (n1,2,...)所围成区域的面积， S1anS2a2n1S1S2n n

f(x在[ab上连续，在(ab内可导，则存在ξ(abf(b)f(a)f(ξ)(ba)f(xx0处连续，在(0,δδ0)limf(x)Af(0)xf(0)x2y21xS是由过点(4,0)

(本题满分10分) 计算曲面积分I

xdydzydzdx3

，其中Σ是曲面2x22y2z24(本题满分11分)椭球面S1是椭圆

(x2y2z2

S1S2的方程；(Ⅱ)S1与S2之间的立体体积考研数 1 (本题满分11分 设A 1，ξ 4 AξξA2ξ )

2009年·第4 (本题满分11分) 袋中有1个红球、2个黑球与3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。求P{X1|Z0}；(Ⅱ)求二维 设二次型f(x,x,x)ax2ax2(a1)x22x12 1 fy2y2a

2x2

)考研数 2008年·第1 2008

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3O，则

(C)EAEA

）设函f(x)xln(2t)dtf(x的零点个数为）0(A) (B) (C) (D)x函数f(x,y)arctanx在点(0,1)处的梯度等于 y(A) (B) (C) (D)

则A的正特征值的个数为 (A) (B) (C) (D)）yCexCcos2xCsin2x（CCC为任意常数）为通解的是） yy4y4yyy4y4y

yy4y4yyy4y4y

设 量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Zmax{X,Y}的分布函数为 (A)F2 (B)F(x)F( (C)1[1 (D)[1F(x)][1F(设函数f(x)在(,)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是 若{xn}收敛，则f(xn)}收敛(C)若f(xn收敛，则{xn}

若{xn单调，则f(xn)}收敛(D)若f(xn单调，则{xn}

设 量X~N(0,1)，Y~N(1,4)，且相关系数ρXY1，则 (A)P{Y2X1} (B)P{Y2X1} (C)P{Y2X1}1(D)P{Y2X1}考研数 2008年·第2 微分方程xyy0满足条件y(1)1的解是y 曲线sin(xy)ln(yx)x在点(0,1)处的切线方程

设 量X服从参数为1的泊松分布，则P{XEX2} 已知幂级数a(x2)nx0x4处发散，则幂级数a(x3)nnn

n

(9分)求极限x

[sinxsin(sinx)]sin 设曲面Σ是z4x2y2的上侧，则xydydzxdzdxx2dxdy Σ考研数 2008年·第3 计算曲线积分Lsin2xdx2(x21)ydy，其中L是曲线ysinx上从点(0,0)到点(π,

x 设f(x)是连续函数x

F(x0f(t)dtF(x)f(x) f(x2为周期的周期函数时，证明函数G(x20f(t)dtx0f(t)dt2为周期的

x2y22z2已知曲线Cxy3z

n2(本题满分11分 将函数f(x)1x2(0xπ)展开成余弦级数，并求级数( 的n2n考研数 2008年·第4 设α,β为3维列向量，矩阵AααTββT，其中αT,βT分别是α,β的转置，证明(Ⅰ)秩rA)2；(Ⅱ)若α,β线性相关，则秩r(A)2

(本题满分11分)设 量X与Y相互独立，X的概率分布为P{Xi}1(i1,0,1)，Y的概率31,0y度为fY(y)0,其 ，记ZX+Y(Ⅰ)PZ1X；(Ⅱ)Zf(z aa

x1 x

,x2,b

1 1 ii ii

XXXN(μσ2X

X,S2

XX)2TX21S2

ni

n1 An1)an当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1

xn

证明T

的无偏估计量；(Ⅱ)μ0σ1DT考研数 2007年·第1 2007

设函数f(x)在x0处连续，下列命题错的是 若limf(x)存在，则f(0)0 (B)若limf(x)f(x)存在，则f(0)0

x f

x

f(x)f(若 存在，则f(0)存在 (D)若 当x0时，与x等价的无穷小量是 (A)1e (B)ln1 1x (D)1cos1

x

x 曲线y1ln(1ex)渐近线的条数为

fx在(0,f(x0，令unf(nn1,2 若u1u2，则{un}必收敛 (B)若u1u2，则{un}必发散 (C)若

u，则{u}必收敛 (D)若

u，则{u}(A) (B) (C) (D)

x

L:f(xy1(f(xy具有一阶连续偏导数)MN，ΓL上从点M到点N的一段弧，则下列积分小的是 [0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设F(x)0f(t)dt，则下列结论正确的是

f(x,

f(x, f(x, f(x,y)dxf(x,F(3)3F4

F(3)54

F(3)3F4yyf

F(3)54

Γ

α1α2,α2α3,α3(C)α12α2,α22α3,α3

α1α2,α2α3,α3(D)α12α2,α22α3,α3考研数 2007年·第2 1

10

设f(u,v)为二元可微函数，zf(xy,yx)，则z

1，B 10，则A与B 1 2 00(A)合同，且相似 (B)合同，但不相似；(C)不合同，但相似；(D)既不合同，也不相似二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y 次命中目标的概率为 (A)3p(1 (B)6p(1 (C)3p2(1 (D)6p2(1设曲面Σ:xyz1，则(xy)dS Σ 量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为（ fX (B)fY( (C)fX(x)fY(

fXfY(

10010010010000。21e1dx

231考研数 2007年·第3

f(a)g(af(bg(b，证明：存在ξ(ab)f(ξ)g(ξ 求函数f(x,y)x22y2x2y2在区域D{(x,y)|x2y24,y0}上的最大值和 计算曲面积分Ixzdydz2zydzdx3xydxdy，其中Σ为曲

n(10分)设幂级数axn在(y(xy2xy4y0，y(0)0nnΣz1x2y2(0z14

y(0)1(Ⅰ)

2an1,2；(Ⅱ)y(xn n1考研数 2007年·第4 (本题满11分

x1x2x3 设线性方程组x2xax x4xa2

23.(本题满分11分 设二维 量(X,Y)的概率密度为f(x,y)2xy,0x1,0y (Ⅰ)P{X2Y}；(Ⅱ)ZXYfZ(z与方程x12x2x3a 1 0x(11分)3Aλ1λ2λ2，α1,1,1)TA

设总体X的概率密度为f(x;θ) ,θx BA54A3EE3

2(1

求参数θ的矩估计量θˆ；(Ⅱ)判断4X2是否为θ2考研数 2006年·第1 2006 设矩阵A 1，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB 1

，则 limxln(1x) x01cos设 量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则P{max{X,Y}1} 微分方程yy(1x)的通解是 x设Σ是锥面z x2y2(0z1)的下侧，则xdydz2ydzdx3(z1)dxdy Σ

yf(xf(x)0f(x0Δx为自变量xx0处的增量，Δy与dy别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx0，则 (A)0dy (B)0Δy (C)Δydy (D)dyΔy f(xy为连续函数，则4

f(rcosθ,rsinθ)rdr等于 点(2,1,0)到平面3x4y5z0的距离d

2 2

f(x,

2 2

f(x,

2 2

1

f(x,

2 2

1

f(x,考研数 2006年·第2 若级数an收敛，则级数 n

a 收敛 (D)

anan1

设A,B为随机事件，且P(B)0，P(A|B)1，则必有 (A)P(AB)P( (B)P(AB) (C)P(AB)P( (D)P(AB)n

收敛

(1)na收敛；nnn

n

nn2n2f(xy与φ(xy)均为可微函数，且φ(xy)0。已知(x,y)f(xy在约束条件φ(xy)0

量X服从正态分布N(μ,σ2)，Y服从正态分布N(μ,σ2)，且P{X

1}P{Y

则必有

1 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0 (B)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0(C)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0 (D)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0设α1,α2,...,αs均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是

(A)σ1 (B)σ1> (C)μ1 (D)μ1> 设区域D{(x,y)|x2y21,x0}，计算二重积分I 1xy dxdy。1x2若α1,α2,...,αs线性相关，则Aα1,Aα2,...,Aαs线性相关 若α1α2αs线性相关Aα1Aα2Aαs线性无关若α1α2αs线性无关Aα1Aα2Aαs线性无关11P

0，则 00(A)CP1 (B)CPAP (C)CPT (D)CPAP考研数 2006年·第3 (12分)设数列{xn}满足0x1πxn1sinxn(n12 x n1

18.12分

2 2z2z设函数f(u)在 )内具有二阶导数，且 f( y)满足等式 0

n

xn

(Ⅰ)f(u

f(u)0；(Ⅱ)f(10f(11，求函f(u的表达式u 将函数f(x)

2x

(本题满分12分) 有f(tx,ty)t2f(x,y)，证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有Lyfxy)dxxf(x,y)dy0考研数 2006年·第4 x1x2x3x4 已知非齐次线性方程组4x3x5xx1有3个线性无关的解

1,1x2 axx3xbx

22.(本题满分9分 量X的概率密度为f(x)1,0x2，令YX2，F(x,y)为二维随 )

X变量X,YY的概率密fy；(Ⅱ)F(14)

440, 和均为3，向量α(1,2,1)T，α(0,1,1)T是

23.(本题满分9分

0x1x2，其中θ是未知参数(0θ1其(Ⅰ)A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩Λ，使得QTAQ=Λ

考研数 2005年·第1 2005

设αα

3AαααBα

α,

4α,

9α1

12

A1

y

2x

从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,...,X中任取一个数，记为Y，则P{Y2} 微分方程xy2yxlnx满足y(1)1的解 9设函数u(xyz)1x2y2z2，单位向量n

1{1,1,1}

设函f(xlim1)

，则f(x)在(,)内 )4.设Ω是由锥面z x2y2与半球面z R2x2y2围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，xdydzydzdxzdxdy Σ

F(x)是偶函数f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C)F(xf(x(D)F(xf(x考研数 2005年·第2 y)φ(x ψ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必x

设二维 Y

2u

2u

2u

a已知随机事件{X0}与{XY1}相互独立，则 (A)a0.2,b (B)a0.4,b (C)a0.3,b (D)a0.1,b yy(xzzz(xyxxyzzz(xy

(n1) (n1)X可确定两个具有连续偏导数xxyzyy(xz

(A)nX~N (B)nS2~χ2

~t(n (D) 1~F(1,nni Xnii (A)λ1 (B)λ2 (C)λ1 (D)λ2

设D{(x,y)|x2y2 2,x0,y0}，[1x2y2]表示不超过1x2y2的最大D

考研数 2005年·第3

求幂级数

n1 1n1n(2n

存在ξ0,1f(ξ1ξ 如图，曲线C的方程为yf(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l与l2分别是曲线

LL在点(0,0)与(32)处的切线，其交点为(2,4)f(x0

2x2证明：对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有求函数φy)的表达

φ(y)dx2xydy02x2y 432

yf 考研数 2005年·第4 已知二次型f(x,x,x)(1a)x2(1a)x22x22(1a)xx的秩为212 1求axQyf(x1x2x3f(x1x2x3)0

1,0x1,0y 设二维 量(X,Y)的概率密度为f(x,y)0,X,Y的边缘概率密fX(xfYyZ2XYfZ(z

2

设X,X,...,

(本题满分9分

36k

YiXiXi12,nYiDYii12,nY1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn)考研数 2004年·第1 2004 曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方程 已知f(ex)xex，且f(1)0，则f(x) xdy2ydx的值 L

21 设矩阵A 00B DX} x0时的无穷小量α0costdtβ0tantdtγ0sintdt个的高阶无穷小 (A)α,β, (B)α,γ, (C)β,α, (D)β,

d2 2y0(x0)的通解

设函数f(x)连续，且f(0)0，则存在δ0，使得 f(x在(0,δ(C)x0,δf(xf(0)

f(x在(δ0)(D)xδ0)f(xf(0)考研数 2004年·第2 设an为正项级数，下列结论中正确的是 n

limna

则x等于 n若n

，则级数ann

(A) (B) (C) (D) n

1

2若级数a收敛，则limn2a0nn

若级数an发散，则存在非零常数λ，使得limnanλn

1设 量X1,X2,...,Xn(n1)独立同分布，且其方差为σ0。令Y

Xi，则 nin 设f(x)为连续函数，F(t)tdytf(x)dx，则F(2)等于 (A)2f (B)f (C)f (D)

σCov(X1,Y)

1Cov(X,Y)σ1

D(X1Y)

n2σn

D(X1Y)

n

设eabe2，证明ln2bln2a4(ba)01

1

1 01

0

10

0

0 10

00

01

00设A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵，则必有 考研数 2004年·第3 (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开

18.(本题满分11分 n当α当α1时，级数xαnn17.(本题满分12分 计算曲面积分I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdyΣ

19.

设zz(x,y)是由x26xy10

2yz

180zz(xyΣz1x2y2(z0)

考研数 2004年·第4 (1a)x1x2...xn(本题满分9分 设有齐次线性方程组2x(2a)x...2x

(n

设A,B为随机事件，且P(A)1，P(B|A)1，P(A|B)1 nxnx...(na)x

1,A发 B发令X0,A不发生，Y