高中数学人教A版第三章三角恒等变换单元测试 高质作品

第三章三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦与正切公式1．两角和的余弦公式（简记C（α+β））：．2．两角差的余弦公式（简记C（α－β））：．3．两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号；②同名函数之积的和与差；③α、β叫单角，α±β叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值；④“正用”、“逆用”、“变用”．4．两角和的正弦公式（简记S（α+β））：．5．两角差的正弦公式（简记S（α－β））：．6．两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同；②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值在前，余弦值在后．用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值．7．两角和的正切公式（简记T（α+β））：．8．两角差的正切公式（简记T（α－β））：．9．两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：①左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反；②．公式变形：①；②．例1eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝（）．A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)答案：C解析：∵sin47°＝sin（30°＋17°）＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝eq\f(sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2)．例2已知sinα＝eq\f(15,17)，cosβ＝－eq\f(5,13)，α∈（eq\f(π,2)，π），β∈（eq\f(π,2)，π），求sin（α＋β），sin（α－β）的值．解：∵sinα＝eq\f(15,17)，α∈（eq\f(π,2)，π），∴cosα＝－eq\r(1－\f(15,17)2)＝－eq\f(8,17)．∵cosβ＝－eq\f(5,13)，β∈（eq\f(π,2)，π），∴sinβ＝eq\r(1－－\f(5,13)2)＝eq\f(12,13)，∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(15,17)×（－eq\f(5,13)）＋（－eq\f(8,17)）×eq\f(12,13)＝－eq\f(75＋96,221)＝－eq\f(171,221)，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(15,17)×（－eq\f(5,13)）－（－eq\f(8,17)）×eq\f(12,13)＝eq\f(21,221)．例3求值：（1）（tan10°－eq\r(3)）•eq\f(cos10°,sin50°)；（2）[2sin50°＋sin10°（1＋eq\r(3)tan10°）]•eq\r(2sin280°)．解：（1）（tan10°－eq\r(3)）•eq\f(cos10°,sin50°)＝（tan10°－tan60°）•eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\f(sin60°,cos60°)))•eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin10°·cos60°－cos10°·sin60°,cos10°·cos60°)•eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin－50°,cos60°)•eq\f(1,sin50°)＝－2．（2）[2sin50°＋sin10°（1＋eq\r(3)tan10°）]•eq\r(2sin280°)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))))•eq\r(2cos210°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋2sin10°·\f(cos50°,cos10°)))•eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)（sin50°cos10°＋sin10°•cos50°）＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6)．例4已知函数f（x）＝eq\r(3)sin（ωx＋φ）（ω＞0，－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)）的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和φ的值；（2）若f（eq\f(α,2)）＝eq\f(\r(3),4)（eq\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)），求cos（α＋eq\f(3π,2)）的值．解：（1）因为f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝eq\f(2π,T)＝2，又因为f（x）的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k＝0，±1，±2，…，因－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)得k＝0，所以φ＝eq\f(π,2)－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,6)．（2）由（1）得f（eq\f(α,2)）＝eq\r(3)sin（2•eq\f(α,2)－eq\f(π,6)）＝eq\f(\r(3),4)．所以sin（α－eq\f(π,6)）＝eq\f(1,4)．由eq\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)得0＜α－eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)．所以cos（α－eq\f(π,6)）＝eq\r(1－sin2α－\f(π,6))＝eq\r(1－\f(1,4)2)＝eq\f(\r(15),4)．因此cos（α＋eq\f(3π,2)）＝sinα＝sin[（α－eq\f(π,6)）＋eq\f(π,6)]＝sin（α－eq\f(π,6)）coseq\f(π,6)＋cos（α－eq\f(π,6)）sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋\r(15),8)．二、二倍角公式二倍角的正弦（简记S2α）、余弦（简记C2α）、正切（简记T2α）公式（升幂公式）：例1eq\f(2sin2α,1＋cos2α)•eq\f(cos2α,cos2α)＝（）．A．tanα B．tan2αC．1 D．eq\f(1,2)答案：B解析：原式＝eq\f(2sin2α,2cos2α)•eq\f(cos2α,cos2α)＝eq\f(sin2α,cos2α)＝tan2α．例2若tanθ＝eq\f(1,3)，则cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝________．答案：eq\f(6,5)解析：cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(1＋\f(1,3),1＋\f(1,9))＝eq\f(4,3)×eq\f(9,10)＝eq\f(6,5)．例3已知cosα＝－eq\f(12,13)，α∈（π，eq\f(3π,2)），求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：∵cosα＝－eq\f(12,13)，α∈（π，eq\f(3π,2)），∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－－\f(12,13)2)＝－eq\f(5,13)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－eq\f(5,13)）×（－eq\f(12,13)）＝eq\f(120,169)，cos2α＝2cos2α－1＝2×（－eq\f(12,13)）2－1＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(120,119)．例4已知函数f（x）＝cosx•sin（x＋eq\f(π,3)）－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在闭区间[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有f（x）＝cosx•（eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx）－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,2)sinx•cosx－eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)（1＋cos2x）＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)cos2x＝eq\f(1,2)sin（2x－eq\f(π,3)）．所以f（x）的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π．（2）因为f（x）在区间[－eq\f(π,4)，－eq\f(π,12)]上是减函数，在区间[－eq\f(π,12)，eq\f(π,4)]上是增函数，f（－eq\f(π,4)）＝－eq\f(1,4)，f（－eq\f(π,12)）＝－eq\f(1,2)，f（eq\f(π,4)）＝eq\f(1,4)，所以，函数f（x）在闭区间[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上的最大值为eq\f(1,4)，最小值为－eq\f(1,2)．三、半角公式（这类公式不要求记忆）半角的正弦（简记）、余弦（简记）、正切（简记）公式：．例1cosθ＝－eq\f(1,5)，eq\f(5π,2)＜θ＜3π，则sineq\f(θ,2)＝（）．A．eq\f(\r(10),5) B．－eq\f(\r(10),5)C．eq\f(\r(15),5) D．－eq\f(\r(15),5)答案：D解析：∵eq\f(5π,2)＜θ＜3π，∴eq\f(5π,4)＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,2)，∴eq\f(θ,2)是第三象限角，∴sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,2))＝－eq\r(\f(1＋\f(1,5),2))＝－eq\f(\r(15),5)．例2化简：eq\f(1＋sinα＋cosαsin\f(α,2)－cos\f(α,2),\r(2＋2cosα))（0＜α＜π）．解：∵0＜α＜π，∴0＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)，∴原式＝eq\f(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)sin\f(α,2)－cos\f(α,2),\r(2·2cos2\f(α,2)))＝eq\f(2cos\f(α,2)cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)sin\f(α,2)－cos\f(α,2),2cos\f(α,2))＝sin2eq\f(α,2)－cos2eq\f(α,2)＝－cosα．四、公式的变形与应用1．合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式．辅助角公式：令，，∴，其中θ为辅助角，．2．三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解．对角进行变形，如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②，问：，；③，④，⑤等等．（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数．如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名．（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：．（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法．常用降幂公式有：，．降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：，，．（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用．请尝试完成下列变形，如：；；；；；；；