高中数学人教B版1第二章圆锥曲线与方程椭圆第2章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为eq\f(3,5)的椭圆的标准方程是()\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，故选C.【答案】C2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为()\f(1,2) B．eq\f(1,3)\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)【解析】由题意知a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,2c)＝eq\f(1,2).【答案】A3．曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)的关系是()A．有相等的焦距，相同的焦点B．有相等的焦距，不同的焦点C．有不等的焦距，不同的焦点D．以上都不对【解析】曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦距为2c＝8，而曲线eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】B4．已知O是坐标原点，F是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为()【导学号：15460032】\f(5,13) B．－eq\f(5,13)\f(2\r(13),13) D．－eq\f(2\r(13),13)【解析】由题意，a2＝4，b2＝3，故c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1.不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以eq\f(12,4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，解得y0＝±eq\f(3,2)，所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(13),2).由余弦定理知cos∠MON＝eq\f(|OM|2＋|ON|2－|MN|2,2|OM||ON|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))2－32,2×\f(\r(13),2)×\f(\r(13),2))＝－eq\f(5,13).【答案】B5．如图2­2­4，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()图2­2­4\f(1,5) B．eq\f(2,5)\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)【答案】D二、填空题6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．【解析】如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)7．设AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，得kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，kOM＝eq\f(y2＋y1,x2＋x1)，kAB·kOM＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))，b2xeq\o\al(2,1)＋a2yeq\o\al(2,1)＝a2b2，b2xeq\o\al(2,2)＋a2yeq\o\al(2,2)＝a2b2，得b2(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＋a2(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1))＝0，即eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝－eq\f(b2,a2).【答案】－eq\f(b2,a2)8．已知P(m，n)是椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．【解析】因为P(m，n)是椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一个动点，所以m2＋eq\f(n2,2)＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.【答案】[1,2]三、解答题9．(1)求与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率为eq\f(\r(5),5)的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．【解】(1)∵c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)，∴所求椭圆的焦点为(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)．设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，c＝eq\r(5)，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.10．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．【解】不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是eq\f(a,2)，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，y))，由点P在椭圆上，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，y2＝eq\f(3,4)b2，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)b))，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝eq\f(\f(\r(3),2)b,\f(a,2))＝eq\f(\r(3),3)，所以a＝3b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3b2－b2),3b)＝eq\f(2\r(2),3).[能力提升]1．(2023·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()\f(\r(2),2) B．eq\r(2)－1C．2－eq\r(2) D．eq\f(\r(2)－1,2)【解析】设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得|PF2|＝eq\f(b2,a)＝2c，即eq\f(a2－c2,a)＝2c，得离心率e＝eq\r(2)－1，故选B.【答案】B2．“m＝3”是“椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)”的()【导学号：15460033】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，当0<m<4时，eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，得m＝3，当m>4时，eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，得m＝eq\f(16,3)，即“m＝3”是“椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)”的充分不必要条件．【答案】A3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是________．【解析】由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．已知点A，B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【解】(1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))则2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－6.由于y>0，所以只能取x＝eq\f(3,2)，于是y＝eq\f(5,2)eq\r(3).所以点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)\r(3))).(2)直线AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.设点M的坐标