高中数学人教A版第三章不等式 全国优质课

第二章第2课时基础巩固一、选择题1．(2023·福建莆田一中月考)已知m>1，a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)，则以下结论正确的是eq\x(导学号54742640)(C)A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小无法确定[解析]a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)＝eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)＝eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1))，因为eq\r(m＋1)＋eq\r(m)>eq\r(m)＋eq\r(m－1)>0，所以a<b.2．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是eq\x(导学号54742641)(B)A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2[解析]∵a2＋a<0，∴0<a2<－a，∴0>－a2>a，∴a<－a2<a2<－a，故选B．[点评]可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－eq\f(1,2)，则a2＝eq\f(1,4)，－a2＝－eq\f(1,4)，－a＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)>eq\f(1,4)>－eq\f(1,4)>－eq\f(1,2)，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B．3．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln5,5)，则eq\x(导学号54742642)(C)A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c[解析]eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln9,ln8)＝log89>1，∵a>0，∴b>\f(a,c)＝eq\f(5ln2,2ln5)＝eq\f(ln32,ln25)＝log2532>1.∵c>0，∴a>c，∴b>a>c.4．下列结论中，成立的个数为eq\x(导学号54742643)(B)①若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>0，,xy>0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0.))②若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>0，,xy>0.))③若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,y>1，))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>2，,xy>1.))④若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>2，,xy>1，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,y>1.))A．4个 B．3个C．2个 D．1个[解析]由xy>0知x与y同号，又x＋y>0，∴x>0且y>0，故①正确；∵x>0，y>0，∴x＋y>0，xy>0，∴②正确；∵x>1，y>1，∴x＋y>2，xy>1，∴③正确；当x＝4，y＝eq\f(1,2)时，x＋y>3，xy>1，但eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,y>1.))不成立．5．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么eq\x(导学号54742644)(A)A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．M、N的大小无法确定[解析]M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1)，若a>1，则a3>a2，∴eq\f(a3＋1,a2＋1)>1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N，若0<a<1，则0<a3<a2，∴0<a3＋1<a2＋1，∴0<eq\f(a3＋1,a2＋1)<1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N，故选A．6．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是eq\x(导学号54742645)(A)A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1bC．a1b2＋a2b1 D．eq\f(1,2)[解析]本题可用特值法：令a1＝，a2＝；b1＝，b2＝.则A．a1b1＋a2b2＝；B．a1a2＋b1b2＝；C．a1b2＋a2b1＝，故最大值为[点评]不能小题大做．本题若实际比较大小，则比较麻烦．(a1b1＋a2b2)－(a1a2＋b1b2＝a1(b1－a2)＋b2(a2－b1)＝(b1－a2)(a1－b2)．由条件知0<a1<eq\f(1,2)<a2,0<b1<eq\f(1,2)<b2，∴b1－a2<0，a1－b2<0，∴(b1－a2)(a1－b2)>0，∴a1b1＋a2b2>a1a2＋b1b2(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0.∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.设a1＝eq\f(1,2)－α，a2＝eq\f(1,2)＋α，b1＝eq\f(1,2)－β，b2＝eq\f(1,2)＋β，由题意知0<α<eq\f(1,2)，0<β<eq\f(1,2).∴a1b1＋a2b2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)(α＋β)＋αβ＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)(α＋β)＋αβ＝eq\f(1,2)＋2αβ>0，∴a1b1＋a2b2>eq\f(1,2).因此，有关不等式大小的选择题，解题时要依据题目特点灵活选取方法，以简化解题过程．二、填空题7．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则eq\r(\f(a,d))与eq\r(\f(b,c))的大小关系是eq\r(\f(a,d))＞eq\r(\f(b,c)).eq\x(导学号54742646)[解析]∵c＞d＞0，∴eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0，∵a＞b＞0，∴eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)＞0，∴eq\r(\f(a,d))＞eq\r(\f(b,c)).8．若a、b、c、d均为实数，使不等式eq\f(a,b)>eq\f(c,d)>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是(2,1，－1，－2)(只要举出适合条件的一组值即可).eq\x(导学号54742647)[解析]由eq\f(a,b)>eq\f(c,d)>0知，a、b同号，c、d同号，且eq\f(a,b)－eq\f(c,d)＝eq\f(ad－bc,bd)>0.由ad<bc，得ad－bc<0，所以bd<0.所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：①a、b同号，c、d同号，b、d异号；②ad<bc.令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则d<eq\f(bc,a)＝－eq\f(1,2)，取d＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．三、解答题9．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－\x(导学号54742648)[解析]∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc.又e>f，即f<e，∴f－ac<e－bc.10．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小.eq\x(导学号54742649)[解析](an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.能力提升一、选择题11．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是eq\x(导学号54742650)(D)A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0 D．a＋b<0[解析]由a＋|b|<0知，a<0,0≤|b|<－a，∴b2<a2，∴a2－b2>0；∵|b|≥b，∴a＋b≤a＋|b|<0；∵|b|≥－b，∴a－b≤a＋|b|<0；∵－a>|b|≥b，∴(－a)3>b3，∴a3＋b3<0.∴A、B、C错，D正确．解法2：取a＝－2，b＝±1，易知a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A、B、C，故选D．12．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是eq\x(导学号54742651)(C)A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[解析]解法一：由a>b>0⇒0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇒a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故选C．解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，排除B．13．若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正确的有eq\x(导学号54742652)(B)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析]∵eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，∴a＜0，b＜0，a＞b，故③错；∴ab＞0，∴a＋b<0<ab，故①成立；又0＞a＞b，∴|a|＜|b|.∴②错；∵eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(b2＋a2,ab)＝eq\f(a－b2＋2ab,ab)＝eq\f(a－b2,ab)＋2且a－b＜0，ab＞0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2，∴④成立．∴①④正确．选B．二、填空题14．若规定eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc(a、b∈R，a≠b)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))与eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))的大小关系为>.(填“>”“＝”“<”)eq\x(导学号54742653)[解析]∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))＝a2＋b2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝ab－(－ab)＝2ab，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb)).15．已知2b<a<－b，则eq\f(a,b)的取值范围为(－1,2).eq\x(导学号54742654)[解析]∵2b<a<－b，∴2b<－b.∴b<0，∴eq\f(1,b)<0.∴eq\f(－b,b)<eq\f(a,b)<eq\f(2b,b)，即－1<eq\f(a,b)<2.三、解答题16．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及eq\f(x,y)的取值范围.eq\x(导学号54742655)[解析]46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32，∴－18＜x－2y＜10；∵30<x<42，eq\f(1,24)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,16)，∴eq\f(30,24)＜eq\f(x,y)＜eq\f(42,16)，即eq\f(5,4)＜eq\f(x,y)＜eq\f(21,8).17．设a＞0，a≠1，t＞0比较eq\f(1,2)logat与logaeq\f(t＋1,2)的大小.eq\x(导学号54742656)[解析]eq\f(1,2)logat＝logaeq\r(t)，∵eq\f(t＋1,2)－eq\r(t)＝eq\f(t－2\r(t)＋1,2)＝eq\f(\r(t)－12,2)，∴当t＝1时，eq\f(t＋1,2)＝eq\r(t)；当t＞0且t≠1时.eq\f(t＋1,2)＞eq\r(t).∵当a＞1时，y＝logax是增函数，∴当t＞0且t≠1时，logaeq\f(t＋1,2)＞logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat.