高数二(定积分应用)

定积分的应用§1.定积分的元素法回顾求曲边梯形面积的步骤：y=f(x)≥0，在[a,b]上连续。(1)分割：得小曲边梯形得面积(i=1,2,…,n)(2)近似：(3)求和：(4)求极限：上的小曲边梯形面积，xx+dx0xyy=f(x)ab又称为面积元素，则小区间长为

dx

，记作dA

,或面积微元。dx

只要作出一小块的面积，其无限的累加即为所求整个曲边梯形的面积。

把面积A

改为一般的所求量I，则有这就是定积分的元素法。§2.定积分在几何学上的应用现在利用元素法讨论：(1)平面图形的面积(2)旋转体的体积(3)平行截面面积为已知的立体体积(4)平面曲线的弧长等几何问题1、直角坐标情形一、平面图形的面积(2)

图形由两条连续曲线0yx.xxy0此时取y

为积分变量0yxy.求平面图形面积的步骤:作图，求出交点选择积分变量，写出面积元素作定积分，并计算(1)选x

为积分变量求交点(2)选y

为积分变量例：解：–20yx例.44–4解方程组：得交点：(8,4),(2,–2)问题：选谁为积分变量？。例.xyo3–3得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为。S=l1l22、参数方程情形若曲边由参数方程：例：图形的面积。解：0yx(星形线，又称内摆线

)?=0由图形的对称性，旋转体：由一平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而成的立体，此直线称为对称轴。如：圆柱、圆锥、圆台、圆球、…现在利用元素法推导出旋转体的体积公式。二、体积1、旋转体的体积xf(x)ab

曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积xf(x)abx111111111

曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x

轴旋转

求旋转体体积V=x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴

求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴

求旋转体体积x=g(y)yx0cdy.

求旋转体体积曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴一般,平面图形绕x

轴旋转而成的立体体积为：平面图形绕y

轴旋转而成的立体体积为：(上)(下)(右)(左)绕y

轴旋转而成的立体体积为：例：绕x

轴与y

轴旋转所得立体的体积。y=x3y=x解：交点：(0,0),(1,1)11(1)绕x

轴：(2)绕y

轴：例求由抛物线直线所围图形分别绕X、Y轴旋转而成的旋转体体积52解：例求所围图形绕直线旋转一周的体积

解：－1圆柱体体积例解：例设曲线(1)过原点作该曲线的切线;(2)求由曲线、切线及x轴所围的平面图形的面积A(3)求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.10abf(x)yx0

求旋转体体积—

柱壳法曲边梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

绕y

轴xdxxabyx0内表面积dx

求旋转体体积—

柱壳法曲边梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

绕y

轴dV=2xf(x)dxf(x)byxa

求旋转体体积—

柱壳法曲边梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byx0a

求旋转体体积—

柱壳法曲边梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)00xbxadx

求旋转体体积—

柱壳法曲边梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)Yx0bdx0yz.a曲边梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

绕y轴

求旋转体体积—

柱壳法dV=2xf(x)dx例解：xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为

A(x)的立体aV2.平行截面面积为已知的立体的体积b同理:若立体由曲面及垂直于y

轴的两个平面y=c,y=d

所围，且垂直于

y

轴的任一截面为一已知的连续函数

A(y)，则立体的体积：oyRx–RR例半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。oyRxxy–RRytan问题：还有别的方法吗？(x,y),截面积A(x)半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。例oyRx–RR

方法2例半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。oyRx–RR

方法2ABCDBCDC截面积S(y)

(x,y)=2x=ytanS(y)例半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。hRxoy–R例

求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。hRxoxA(x)A(x)V=–Ry例

求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。y三、平面曲线的弧长1、弧微分设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，在曲线上取基点M0(x0,y0),M(x,y)为曲线上任一点，xy0M0.x0M.x记弧长l

=M0M规定：依

x增大的方向作为曲线的正向。(即M

在M0右，l>0)∵l随x

的增大而增大,∴l=l(x)是x

的单调增加函数。abxy0M0.x0M.xM’y=f(x)P弧微分ds表示了M点处切线段MP

的长度。

当切线正向与曲线方向一致，且与x轴夹角为α，则有当曲线是用参数方程当曲线方程为

y=f(x)，当曲线用极坐标方程y

有连续导数,2、连续曲线的弧长设曲线的表达式为y=f(x),计算曲线AB上相应于x

从a到b

的一段弧长S。即为弧长元素