材料力学第三章 圆轴扭转

材料力学4何斌njhebin@2/5/2023第3章圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆杆扭转时的变形及刚度条件工程中承受扭转的圆轴外加扭力矩、扭矩与扭矩图结论与讨论剪应力互等定理剪切胡克定律杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。工程中承受扭转的圆轴请判断哪一杆件将发生扭转？当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。请判断轴受哪些力？将发生什么变形？工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴第3章圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆杆扭转时的变形及刚度条件工程中承受扭转的圆轴外加扭力矩、扭矩与扭矩图结论与讨论剪应力互等定理剪切胡克定律外加扭力矩、扭矩与扭矩图作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转速n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：

其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。

如果功率P的单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力——扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。

nMeMeMxMeMx+nMxMeMx-外加扭力矩、扭矩与扭矩图如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagramoftorsionmoment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。外加扭力矩、扭矩与扭矩图例题1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试：画出圆轴的扭矩图。

例题1解：1．确定控制面

外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。

2．应用截面法，由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩

。

例题1

3．建立Mx－x坐标系，画出扭矩图建立Mx－x坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。

外加扭力矩、扭矩与扭矩图对应拉压问题与轴力图对应的轴力图与扭矩图第4章圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆杆扭转时的变形及刚度条件工程中承受扭转的圆轴外加扭力矩、扭矩与扭矩图结论与讨论剪应力互等定理剪切胡克定律

剪应力互等定理剪切胡克定律考察承受剪应力作用的微元体，假设作用在微元左、右面上的剪应力为，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力ˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶。为保持微元的平衡，这两个力偶的力偶矩必须大小相等，方向相反。剪应力互等定理剪切胡克定律xyzdxdydz微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎样才能平衡？根据力偶平衡理论剪应力成对定理

在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairingprincipleofshearstresses）。剪应力互等定理剪切胡克定律O剪切胡克定律当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变成正比:这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数G称为材料的切变模量。第4章圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

圆杆扭转时的变形及刚度条件工程中承受扭转的圆轴外加扭力矩、扭矩与扭矩图结论与讨论剪应力互等定理剪切胡克定律

应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量——扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程确定横截面上剪应力的方法与过程圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

平面假定

变形协调方程

物性关系——剪切胡克定律

静力学方程

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。平面假定平面假定圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

平面假定

变形协调方程

物性关系——剪切胡克定律

静力学方程

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式变形协调方程若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆筒，根据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。变形协调方程设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系：

圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

平面假定

变形协调方程

物性关系——剪切胡克定律

静力学方程

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式物性关系——剪切胡克定律O剪切胡克定律当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变成正比:这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数G称为材料的切变模量。物性关系——剪切胡克定律圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

平面假定

变形协调方程

物性关系——剪切胡克定律

静力学方程

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式静力学方程静力学方程式中

GIP—扭转刚度；

IP—横截面的极惯性矩。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

平面假定

变形协调方程

物性关系——剪切胡克定律

静力学方程

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式最大剪应力Wp——

扭转截面模量。圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式空心圆截面极惯性矩与抗扭截面系数实心圆截面设圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转应力小结

公式的适用范围：

扭转变形基本公式：

扭转切应力公式：

最大扭转切应力：物理与静力学三方面

研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、圆截面轴；圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式受扭圆轴的强度设计准则

与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力max限制在一定的数值以下，即：

这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式

[

]为许用剪应力；

max是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。

受扭圆轴的强度设计准则

例题1已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。例题1解：首先根据轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴空心轴d2＝0.5D2=23mm例题1解：确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：例题2在图示传动机构中，功率从B轮输入，再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴C，另一半传递给水平轴H。若已知输入功率P1=14kW，水平轴E和H的转速n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12，图中d1=70,d2=50,d3=35.求各轴横截面上的最大切应力.分析：此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1=3n1=360r/min再通过公式：可以求得各轴所受到的外力矩M1M2M3例题2解：1、求各轴横截面上的扭矩：E轴：H轴：C轴：2、求各轴横截面上的最大切应力：E轴：H轴：E轴：例题3由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别