高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 高质作品

空间向量的基本定理学案编号：GEXX2-1T3-1-2【学习要求】1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法．2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．【学法指导】利用空间向量的数乘运算，理解和表示共线向量和共面向量充分体现向量的工具性.1．共线向量定理两个空间向量a，b(________)，a∥b的充要条件是____________________，使__________．2．向量共面的条件(1)向量a平行平面α的定义已知向量a,作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a,如果a的基线OA_______________________，则就说向量a平行于平面α，记作________．(2)共面向量的定义平行于____________的向量，叫做共面向量．(3)共面向量定理如果两个向量a，b__________，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，________________________，使____________．3．空间向量分解定理(1)空间向量分解定理如果三个向量a，b，c__________，那么对空间任一向量p，_________________________________，使_____________．(2)基底如果三个向量a，b，c是三个________________，则a，b，c的线性组合____________能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个________，记作____________，其中a，b，c都叫做__________．表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的________________________________.探究点一向量共线问题问题1(1)两向量共线时，它们的方向有什么关系？(2)在两向量共线的充要条件中，为什么要求b≠0?问题2向量共线在几何中有什么应用？例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up14(→))＝2eq\o(ED1,\s\up14(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up14(→)).求证：E，F，B三点共线．跟踪1如图所示，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up14(→))，eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up14(→)).求证：四边形EFGH是梯形．探究点二向量共面问题问题1如何理解向量与平面平行？问题2在三个向量共面的充要条件中，若两向量a、b共线，那么结论是否还成立？问题3向量共面在几何中有什么应用？问题4已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式eq\o(OP,\s\up14(→))＝xeq\o(OA,\s\up14(→))＋yeq\o(OB,\s\up14(→))＋zeq\o(OC,\s\up14(→))(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C是否共面？例2已知斜三棱柱ABC—A′B′C′，设eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up14(→))＝c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N，使eq\o(AM,\s\up14(→))＝keq\o(AC′,\s\up14(→))，eq\o(BN,\s\up14(→))＝keq\o(BC,\s\up14(→))(0≤k≤1)．求证：(1)eq\o(MN,\s\up14(→))与向量a和c共面；(2)MN与面A′AB平行吗？跟踪2已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up14(→)).(1)判断eq\o(MA,\s\up14(→))、eq\o(MB,\s\up14(→))、eq\o(MC,\s\up14(→))三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．探究点三空间向量分解定理问题1平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？问题2和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？问题3若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？例3如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c.试用向量a，b，c表示向量eq\o(GH,\s\up14(→)).跟踪3在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up14(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up14(→))；(2)eq\o(AM,\s\up14(→))；(3)eq\o(AN,\s\up14(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up14(→)).【达标检测】1．空间的任意三个向量a，b,3a－2bA．共线向量 B．共面向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C有6eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋2eq\o(OB,\s\up14(→))＋3eq\o(OC,\s\up14(→))，则 （）A．四点O，A，B，C必共面B．四点P，A，B，C必共面C．四点O，P，B，C必共面D．五点O，P，A，B，C必共面3．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取eq\o(PQ,\s\up14(→))＝a，eq\o(PR,\s\up14(→))＝b，eq\o(PS,\s\up14(→))＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ,H为RS的中点，则eq\o(GH,\s\up14(→))＝__________________.(用a，b，c表示)【课堂小结】1．利用空间向量的数乘运算可以划定两个向量共线．2．空间三个向量a、b、c共面，只要找到一个向量能用其余两个向量线性表示即可．3．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．3.1.2空间向量的基本定理一、基础过关1．“a＝xb”是“向量a、b共线”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是 ()\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|3．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．a B．bC．a＋2b D．a＋24．设M是△ABC的重心，记eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AM,\s\up6(→))等于 ()\f(b－c,2) \f(c－b,2)\f(b－c,3) \f(c－b,3)5．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.6．在四面体O—ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．二、能力提升7．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D8．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是 ()\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝09．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线．③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间一个基底．10．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．11.如图所示，四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线．12.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量eq