梁的基础问题 课件

第五章梁的基础问题§5-1平面弯曲概念§5-2梁的载荷及计算简图§5-3剪力与弯矩§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系第五章梁的基础问题§5-6纯弯曲梁的正应力§5-7

梁的切应力§5-8梁弯曲时的强度计算§5-9梁的变形§5-10叠加法求梁的变形第五章梁的基础问题§5-11提高梁强度的措施§5-12梁的刚度条件与梁的合理设计§5-13简单超静定梁的解法小结一、梁及其分类梁：主要承受垂直于轴线载荷的杆件1)轴线是直线的梁称为直梁，轴线是曲线的梁称为曲梁；2)有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。二、平面弯曲平面弯曲：若梁上所有载荷都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内。§5-1平面弯曲概念AxB纵向对称面FqMeFAyFByyyyy纵向对称轴平面弯曲§5-1平面弯曲概念三、工程实例吊车梁§5-1平面弯曲概念钻床臂§5-1平面弯曲概念§5-1平面弯曲概念刨床刨刀x一、梁的载荷及支座反力梁上的外力：包括载荷和支座反力1．作用在梁上的载荷可分为：集中载荷(集中力、集中力偶)和分布载荷(分布载荷、均布载荷)xxxq(x)F1F2(a)集中力F(N)(b)分布载荷q(x)(N/m)

q(N/m)(d)集中力偶Me

(N·m)(c)均布载荷qMeMe图示法符号(单位)名称Fx2Fy2§5-2梁的载荷及计算简图2．梁的支座形式(平面力系)：滑动铰支、固定铰支

和固定端滑动铰支1

(FRy)固定铰支2(FRx，FRy)固定端3(M，FRx，FRy)FRyFRxMFRyFRxFRy图示法反力未知反力数名称§5-2梁的载荷及计算简图二、梁的分类及计算简图1．梁的计算简图：用梁的轴线代替梁，将载荷和支座加到轴线上。2．梁的分类(根据支撑形式)：1)静定梁：仅用静力平衡方程即可求得支反力的梁(a)悬臂梁，(b)简支梁，(c)外伸梁2)超静定梁：仅用静力平衡方程不能求得支反力的梁(d)固定梁，(e)连续梁，(f)半固定梁§5-2梁的载荷及计算简图3

(2)*3

(2)3

(2)6

(4)5

(4)4

(3)梁按支承方法的分类(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁(d)固定梁(e)连续梁(f)半固定梁*假定轴线方向反力为零，则未知力总数减少为()内的数FxFyMFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy4Fy2Fy3Fy1Fx1M1Fy2梁的名称图示法未知反力数§5-2梁的载荷及计算简图一、截面法求梁横截面上的内力1．截面法过程：切取、替代、平衡。M1FQ1FQ1M1FAyF0CABy11xxFByFFAyFBy§5-3剪力与弯矩2．平面弯曲梁横截面上的内力1)剪力：平行于横截面的内力；符号：FQ；正负：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负；2)弯矩：绕截面转动的内力(矩)；符号：M；正负：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负；或者记成：绕研究梁段顺时针旋转的剪力为正。或者记成：梁上压下拉的弯矩为正。§5-3剪力与弯矩-(FQ>0)FQFQFQFQ+(FQ>0)+(M>0)-(M<0)梁的变形及内力的符号剪力FQ弯矩MMMFQFQMMMM变形形态FQ、MFQ、M引起的变形符号§5-3剪力与弯矩3．剪力、弯矩的计算法则1)剪力：梁任一横截面上的剪力FQ=该截面任一侧所有横向外力的代数和，且截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力对该截面产生正的剪力。2)弯矩：梁任一横截面上的弯矩M=该截面任一侧所有外力(横向力和力偶矩)对该截面形心产生力矩的代数和，且向上的横向力、截面左侧顺时针旋转的力偶矩和截面右侧逆时针旋转的力偶矩对该截面产生正的弯矩。§5-3剪力与弯矩*4．判断外力产生剪力、弯矩正负的图例F1FAyFAy使梁AC段左上右下，对n—n截面产生的剪力为正(或者FAy在AC段左截面且向上)；FAy使梁AC段产生下凸变形，对n—n截面产生的弯矩为正(或者FAy使梁AC上压下拉)；nnCFAy

qF1Me1Me2FByABF2Me1§5-3剪力与弯矩二、例题例5-1求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5m3m1.5m1.5mq=12kN/mF=8kNABFAyFBy解：1)求支反力(可以利用A点矩平衡求FBy或进行校核）2)求1-1截面内力：取左段研究3)求2-2截面内力：取左段研究4)也可取右段研究，结论相同。§5-3剪力与弯矩一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图1．剪力、弯矩方程2．剪力、弯矩图剪力、弯矩方程的函数图，横轴沿梁轴线方向，纵轴为内力的大小。本书约定：内力均以坐标轴上方为正。剪力、弯矩沿梁轴线变化的函数关系。3．注意1)剪力、弯矩方程坐标原点及方向的选取可任意；2)剪力、弯矩图必须根据相应的剪力、弯矩方程作出。§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)二、例题_FQ_M例5-2作图示悬臂梁AB的FQ、M图。lFABxxFFl注意观察集中力作用处、无载荷作用段剪力弯矩图的形态§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)_+FQ+Mx例5-3图示简支梁受均布载荷q的作用，作该梁的FQ、M图。BqAlFAyFByql/2ql/2ql

2/83ql

2/32l/4解：1)求支反力由对称性知2)列剪力弯矩方程3)作FQ、M图注意观察集中力、均布载荷作用处剪力弯矩图的形态，剪力为零截面弯矩图的形态§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)x1x2+_FQ+M例5-4在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的FQ、M图。lFabCABFAyFByFb/lFa/lFab/l解：1)求支反力2)列剪力弯矩方程3)作FQ、

M图注意观察集中力作用处、无载荷作用段剪力弯矩图的形态AC段：CB段：§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)x1x2+FQ_+MMe/lMea/l例5-5在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的FQ、M

图。labMeCABFByFAyMeb/l解：1)求支反力2)列剪力弯矩方程3)作FQ、

M图注意观察集中力偶作用处剪力弯矩图的形态AC段：CB段：§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)一、剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系1．假设1)规定分布载荷集度q(x)向上为正，向下为负；2)任取微段，认为其上q(x)为常数，无集中力和集中力偶矩；3)假设内力为正。§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系2．微分关系推导dxOq(x)M(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)xdxyxMeF1F2ABq(x)§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系二、讨论微分关系的几何意义1．微分关系的几何意义3)集中力作用处：剪力图发生突变，突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向，弯矩图发生转折；1)剪力图上某点的切线斜率等于该点分布载荷的大小；弯矩图上某点的切线斜率等于该点剪力的大小；2)若x1、x2两截面间无集中力作用，则x2截面的剪力FQ2

等于x1截面的剪力FQ1加上两截面间分布载荷图面积；若x1、x2两截面间无集中力偶作用，则x2截面的弯矩

M2等于x1截面的弯矩M1加上两截面之间FQ图面积；§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系4)集中力偶作用处：弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小，若该处无其它外力，则弯矩图斜率不变；5)各种载荷下剪力图与弯矩图的形态：qq>0q<0M">0M"<0FQ>0紧靠C的某一侧面FQ<0FQ=0FQ变号处+_CFCMeCFCMeC外力形态FQ图M图Mmax位置§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系3)载荷图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；载荷图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称；1)|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；2)

q突变反向，剪力图有尖点(转折)，弯矩图有凸凹性反转的拐点；2．其它规律三、利用微分关系作剪力弯矩图1．先利用计算法则计算分段点的FQ、M值；2．再利用微分关系判断并画出分段点之间的FQ、M图；3．各种载荷下FQ、M图形态的引例：§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系q2qa2qa2qaaaaaaqaqqaFQMqaqaqa2qa20.5qa2--+--+qaqaqa22qa22qaqaqaqq0集中力F作用处：FQ图突变，突变值为F，从左向右作图，突变方向与F同向，M图有尖点；集中力偶Me作用处：FQ图不变，M图有突变，突变值为Me；q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转的拐点FQ图某点切线斜率等于该点q大小，M图某点切线斜率等于该点FQ大小|M|max可能发生在：FQ=0、集中力作用处、集中力偶作用处q>0(向上)：FQ图(向上斜直线)，

M图(凹抛物线)q<0(向下)：FQ图(向下斜直线)，

M图(凸抛物线)无载荷段：FQ图水平线，M图斜线(FQ>0，M图；FQ<0，M图)；q§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系FQ+__M(kN·m)3.81.413(kN)4.23.8Ex=3.1m32.2例5-7外伸梁AB承受载荷如图所示，作该梁的FQ—M图。q=2kN/mMe=6kN·mF=3kNDCAB4m1m1mFByFAy_++562134CA和DB段：4)可以先确定各分段点的FQ、

M值，用相应形状线条连接。因FQ值较易求得，M

值可用FQ图面积求得。解：1)求支反力2)判断各段FQ、M图形状AD段：FQ图为水平线，M图为斜直线。q=0FQ图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。q=C<03)作剪力、弯矩图§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系一、相关概念2．假设：1)平截面假设：假定变形前与轴线垂直的横截面，在变形后仍为平面且保持与轴线垂直。2)单向受力假设：纵向纤维之间无正应力作用。1．梁按内力分类1)纯弯曲梁：梁横截面上只有弯矩M，没有剪力FQ2)横力弯曲梁：梁横截面上既有弯矩又有剪力。由纯弯曲试验现象得到。§5-6纯弯曲梁的正应力2．中性层与中性轴1)中性层：构件内既不伸长也不收缩的纤维层2)中性轴：横截面与中性层的交线纵向对称轴yzO中性层中性轴MM缩短伸长x不变§5-6纯弯曲梁的正应力二、纯弯曲梁横截面应力公式推导1．几何条件m2n2yMMO1O2rya1ya2ya2a1dqn2dxn1m1m2e1O1O2e2x中性层z中性轴n2m2n1m1O曲率中心xe2e1scsty研究中性层下方y处a1a2的线应变2．物理条件§5-6纯弯曲梁的正应力M3．力学条件dAz(中性轴)yzs

dAxOy1)将s=Ey/r代入(1)式—Sz=0(截面对中性轴静矩为零)中性轴过截面形心2)将s=Ey/r代入(2)式：—Iyz=0(截面对y、z一对轴的惯性积为零)y轴是截面的对称轴，上式自动满足§5-6纯弯曲梁的正应力3)将s=Ey/r代入(3)式：——截面对z轴的惯性矩用Iz改写(4)式：EIz——抗弯刚度，表示梁抵抗弯曲变形的能力4．纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)1)距中性层y处的应力：2)梁上下边缘，弯曲正应力取得最大值：设距中性轴距离最大为e，——抗弯截面系数§5-6纯弯曲梁的正应力MMsminsmax5．横截面上正应力的画法sminsmax6．应力公式的使用方式zyMstscMM1)

y轴向下，则应力计算正负值与拉、压应力相符；2)由弯矩引起的变形直接判断：纵向伸长，为拉应力，纵向缩短，为压应力。§5-6纯弯曲梁的正应力7．公式适用范围1)线弹性范围——正应力小于比例极限sp；2)精确适用于纯弯曲梁；3)对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比l/h>5)，

上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。§5-6纯弯曲梁的正应力三、典型截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面系数1．矩形截面yzhb2．实心圆截面(直径为d)3．空心圆环截面(外径为D，内径为d，a=d/D)§5-6纯弯曲梁的正应力一、横力弯曲梁横截面上的切应力1．梁的弯矩只产生正应力；剪力只产生切应力。MFQMFQtsts§5-7梁的切应力z2．对横截面中性轴平行线上的切应力作以下假设1)各点切应力的作用线平行或交于一点；2)各点切应力沿剪力FQ的分量ty均相等；tm'tytf'tmtyf'm'mftf由切应力互等定理，tm’、tm必与截面周边相切，两切应力延长线交于O'点。1)假设m'm线上所有切

应力均交于O'点；2)假设m'm线上所有切

应力沿y分量均相等；yFQO'tyty§5-7梁的切应力3．横截面上切应力的计算公式e11'1'11yze2e1x2112dxbyyxdxxM+dMMFQFQss+dsn11'm'n'2mt't'mnmm'dxAtyA§5-7梁的切应力4．关于切应力公式的说明1)公式求出的是距中性轴y处沿剪力FQ方向的切应力分量ty；2)由于横截面周边与y轴夹角qm最大，因此该处

切应力最大；ztm'tytmtym'mftfyFQO'tyy处平行于中性轴线以外面积对z轴的静矩；y处截面的有效宽度；qm§5-7梁的切应力二、例题Oyzbh例5-8求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。yOt=tm=tyy解：1)剪力FQ沿y轴方向，故矩形截面上各点的切应力均平行于FQ2)求距中性轴y处的切应力ty：将、Iz代入ty

：沿矩形截面高度，切应力t呈抛物线分布，在最边缘处为零，在中性轴上最大：FQ§5-7梁的切应力yORyz例5-9求图示圆形截面梁的切应力分布。tyxdxtbyqyqsr解：1)求距中性轴y处的切应力分量ty：将各变量换算成R和q函数2)外边缘切线应力ts为3)中性轴处§5-7梁的切应力一、弯曲正应力和切应力强度条件1．正应力强度条件1)拉压强度相等的材料：2)拉压强度不等的材料：2．切应力强度条件1)一般情况2)等直梁3．一般用正应力强度条件设计，再校核切应力强度条件。§5-8梁弯曲时的强度计算二、例题例5-10图示№16工字钢制梁，中点受集中力F作用，已知梁Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变e=400×10-6。求F并校核梁正应力强度。CBAl/2aFlz№16解：1)求F2)校核梁正应力强度梁危险截面在弯矩最大的中间截面§5-8梁弯曲时的强度计算例5-11已知：F=1kN，q=1kN/m，a=1m，T形梁尺寸如图，[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。AaaBFqaCDzE40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN·m)_FAyFCy解：1)求支反力2)作梁的剪力、弯矩图3)求C左侧截面E点的正应力和切应力§5-8梁弯曲时的强度计算AaaBFqaCDz40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN.m)_4)校核梁的正应力强度因梁的许用拉、压强度不等，截面上下不对称，因此，正负弯矩最大值处均为危险截面§5-8梁弯曲时的强度计算AaaBFqaCDz40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN·m)_4)校核梁的切应力强度切应力强度危险截面在剪力FQ最大的C右侧截面§5-8梁弯曲时的强度计算§5-9梁的变形一、梁变形的度量——挠度及转角1．梁的挠曲线(弹性曲线)轴线变形后所形成的光滑连续的曲线1)转角：B1FyxBA2．梁变形的度量梁横截面绕中性轴转动的角度，符号：q，正负：顺时针转动为正，反之为负；2)挠度：梁横截面形心的竖向位移，符号：y，正负：向下为正，反之为负。挠度随轴线变化的函数3)挠曲线方程：——

；4)转角方程：转角与挠度的关系(小变形下)：qqyx二、挠曲线近似微分方程1．力学关系：x0yxdqM>0M>0dxdy2．数学关系：3．挠曲线近似微分方程：结合数学与力学关系：在图示坐标下：挠曲线下凸：挠曲线上凸：4．挠曲线微分方程的

FQ、q表达式qr(x)O(曲率中心)qds§5-9梁的变形三、边界条件与连续条件1．转角、挠曲线普遍方程——转角方程——挠曲线方程式中C、D为积分常数，由梁位移边界条件与连续条件确定。1)

B.C.(位移边界条件)固定铰与可动铰固定端弹性支座yyyly§5-9梁的变形2．位移边界条件与连续条件AFBC挠曲线是光滑连续唯一的。§5-9梁的变形2)C.C.(连续条件)：3．静力边界条件1)弯矩边界条件2)剪力边界条件yx四、例题例5-12图示B端作用集中力F的悬臂梁，求其挠曲线方程。lFBOAqmaxB1ymaxx解：1)如图建立坐标系x处弯矩方程为2)列挠曲线微分方程并积分两次3)由固定端边界条件决定积分常数4)转角和挠曲线方程FAy=FMA=Fl§5-9梁的变形5)最大转角和挠度值x2yxx1例5-13求图示简支梁受集中载荷F作用时的挠曲线方程。lFabABC解：1)列弯矩方程支反力：如图建立坐标系：2)分段列出挠曲线微分方程并积分FAyFBy§5-9梁的变形FabABC3)转角及挠曲线方程积分常数由边界和连续性条件决定：(C.C.)：(B.C.)：a)|q

|最大值及位置：4)讨论(假设a>b)qAqB变形连续性§5-9梁的变形∴由变形连续性知挠度极值发生在AC段：FabABCqAqBb)|y|最大值及位置当集中力作用在中点时：挠曲线无拐点的简支梁，工程上都可用中点挠度近似代替最大挠度。c)从本例可以看出：积分常数的个数为弯矩方程分段数的两倍，应等于边界条件和连续性条件的总个数。x0fmax当F无限接近右支座的极端情况下：可以用中点挠度近似代替fmax：§5-9梁的变形解：1)q(x)表示的挠曲线微分方程xyxq(x)=q0x/lC例5-14求图示简支梁受三角分布载荷作用时的挠曲线。q0lAB2)将微分方程积分四次得由边界条件确定积分常数：3)转角和挠曲线方程分别为§5-9梁的变形§5-10叠加法求梁的变形一、求梁变形的叠加法1．使用条件在线弹性、小变形情况下，各载荷产生的物理量之间互相独立。2．表述在若干个载荷共同作用下，梁任意横截面上的总变形=各载荷单独作用时在该截面引起变形的代数和。二、例题例5-15如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求qB和yB。Fl/2ql/2ABCABqABCyBqyCqqCqqBFFyBF解：1)在F作用下2)在q作用下3)在q和F共同作用下§5-10叠加法求梁的变形解：1)沿截面B将梁分成AB、BC段：ABqa0.5qa2C例5-16图示外伸梁，设其抗弯刚度EI为常数，求qC和yC。lABCaqqCB2)AB段成为简支梁，受截面B上的剪力与弯矩作用，剪力作用在支，不产生变形，弯矩产生的变形为：3)

BC段成为悬臂梁，在均布载荷

q作用下变形：4)梁的总变形可以看成：悬臂梁BC的变形加上简支梁AB引起BC的刚性转动：5)本题也可以看成先后将AB、BC段刚化后进行求解，即所谓的“逐段刚化法”§5-10叠加法求梁的变形解：1)求支反力：ABCyCqCqCABCFAyFByq例5-17求图示简支梁的qC和yC，设其抗弯刚度EI为常数。l/3ABC2l/3qFAyFByqCl/3qC(2l/3)2)对于CA段梁：3)对于CB段梁：4)(a)、(b)联立求解：§5-10叠加法求梁的变形§5-11提高梁强度的措施1．弯曲正应力是控制梁强度的主要因素2．提高梁强度的措施：1)采用合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz；2)采用等强度梁或变截面梁；3)改善梁的受力条件，降低Mmax。一、梁的合理截面形状1．横截面面积A不变，抗弯截面系数Wz越大，则截面形状越合理：2．材料特性对截面形状的要求2)优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面；1)为提高Wz/A，截面上的材料应尽可能远离中性轴；2)抗压强度小于抗拉强度的材料，采用中性轴偏向受拉侧的截面形状，如T形、不对称工字形等截面；1)拉压强度相等的材料，采用上下对称截面；3．同时需考虑弯曲切应力强度由腹板和翼缘组成的薄壁截面，如型钢截面等，弯曲正应力由两端翼缘承担，弯曲切应力由中间腹板承担。§5-11提高梁强度的措施二、采用等强度梁或变截面梁1．等强度观点的等高矩形截面悬臂梁的宽度b(x)：固定端和x截面最大正应力相等：等强度梁：任意横截面最大正应力都相等的变截面梁。lHByHFxbzxx2．该等强度梁的重量是同样强度等截面梁的一半§5-11提高梁强度的措施3．该梁的最大挠度该等强度梁的最大挠度是同样强度等截面梁的1.5倍——固定端截面对z轴惯性矩4．叠板弹簧设计思路lFBF2FFF§5-11提高梁强度的措施5．若悬臂梁截面宽度一定，按等强度观点求得h(x)按抛物线规律变化。xHFxBzylBhx6．以上只讨论梁的弯曲正应力强度，设计等强度梁还必须考虑切应力强度条件，在自由端附近有一个最小截面宽度或高度。§5-11提高梁强度的措施三、改善梁的受力条件1．简支梁变外伸梁(注意最佳的外伸长度)；2．集中力分散，最好为均布载荷集度；3．集中力靠近支座或采用增加支座的超静定梁。§5-11提高梁强度的措施§5-12梁的刚度条件与梁的合理设计一、梁的刚度条件提高梁弯曲刚度的措施与提高梁弯曲强度的措施非常类似，但侧重点不同。[q]——许用转角[y]——许用挠度二、提高梁弯曲刚度的措施1．提