高中数学北师大版1第一章常用逻辑用语充分条件与必要条件 第1章

充要条件1.理解充要条件的意义.(难点)2.掌握充分、必要、充要条件的应用.(重点、难点)3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.(易混点)[基础·初探]教材整理充要条件阅读教材P8～P9的内容，完成下列问题.1.充要条件如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.2.常见的四种条件(1)充分不必要条件，即p⇒q而q⇒/_p.(2)必要不充分条件，即p⇒/_q而q⇒p.(3)充要条件，即p⇒q，q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，即p⇒/_q，q⇒/_p.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可以说成q成立当且仅当p成立.()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.()(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件.()【答案】(1)√(2)√(3)√2.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】在△ABC中A＞B⇔a＞b，∴A＞B是a＞b的充要条件.【答案】C3.用符号“⇒”“⇐”“⇔”填空.(1)x＝0________x＜1；(2)整数a能被2整除________整数a是偶数；(3)M＞N________log2M＞log2N【解析】利用这三种符号的意义求解.【答案】(1)⇒(2)⇔(3)⇐4.已知非零实数a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的____________条件.【解析】b2＝ac⇒a，b，c成等比数列，a，b，c成等比数列⇒b2＝ac，∴互为充要条件.【答案】充要[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]充要条件的判断(1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为RA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【自主解答】当a＝c＝－1，b＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅.反过来，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＝b2－4ac＜0))，因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的必要不充分条件.【答案】B(2)条件甲：“a＞1”是条件乙：“a＞eq\r(a)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【自主解答】方法一：甲⇒乙：a＞1⇒eq\r(a)＞1⇒a＞eq\r(a)，乙⇒甲：a＞eq\r(a)⇒eq\r(a)(eq\r(a)－1)＞0⇒eq\r(a)＞1或eq\r(a)＜0⇒a＞1因此是充要条件.方法二：∵a＞eq\r(a)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,a2＞a))⇔a＞1，∴选C.【答案】C(3)已知p：－1＜2x－3＜1，q：x(x－3)＜0，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【自主解答】由－1＜2x－3＜1，得1＜x＜2，即x∈(1,2).由x(x－3)＜0，得0＜x＜3，即x∈(0,3).∵当1＜x＜2时，能推出0＜x＜3；但是0＜x＜3不能推出1＜x＜2.∴p是q的充分不必要条件.【答案】A(4)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)，则p是q的________条件.【自主解答】∵当x＝1或x＝2成立时可得x－1＝eq\r(x－1)成立.反过来，当x－1＝eq\r(x－1)成立时可推出x＝1或x＝2.∴p是q的充要条件.【答案】充要对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但pq，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若pq，且qp，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.充要条件的证明求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”.【导学号：32550005】【精彩点拨】分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”.【自主解答】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即sin(－x＋φ)＝－sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝－sinxcosφ－cosxsinφ，整理得2cosxsinφ＝0，由于上式对任意x∈R都成立，所以sinφ＝0，即f(0)＝sinφ＝0.充分性：由f(0)＝0，得sinφ＝0.∴f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝－sinxcosφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sinxcosφ，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数.综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”.1.首先分清条件和结论.本例中条件是“f(0)＝0”，结论是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”.“p是q的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p2.充要条件的证明分两步证明：证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.[再练一题]1.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.【证明】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝sinxcosφ＋cosxsinφ整理得2sinxcosφ＝0.由于上式对任意x∈R都成立，所以cosφ＝0，即|f(0)|＝|sinφ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sinφ|＝1，∴cosφ＝0.∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝cosxsinφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝cosxsinφ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.[探究共研型]充要条件探究1充要条件具有传递性吗？【提示】若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件.探究2从集合的角度判断充要条件、必要条件和充分条件适用于哪些题目？【提示】当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系利用Venn图或数轴解题.探究3在使用充分条件和必要条件时，要注意什么？【提示】在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题.在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法.探究4如何求一个问题的充要条件？【提示】求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件.【精彩点拨】由关系式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2))寻找an与an＋1的比值，但同时要注意充分性的证明.【自主解答】a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1).∵p≠0，p≠1，∴eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，若{an}为等比数列，则eq\f(a2,a1)＝eq\f(an＋1,an)＝p，∴eq\f(pp－1,p＋q)＝p.∵p≠0，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.以上是{an}为等比列的必要条件.下面证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件.当q＝－1时，∴Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，a1＝S1＝p－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1).∴an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)，eq\f(an,an－1)＝eq\f(p－1pn－1,p－1pn－2)＝p为常数，∴q＝－1时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1.本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.[再练一题]2.求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.【解】(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－eq\f(1,2)，符合要求.(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤①方程ax2＋2x＋1＝0有一个负根的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1x2＜0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,\f(1,a)＜0))，∴a＜0.②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2＜0，,x1x2＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,－\f(2,a)＜0，,\f(1,a)＞0，))∴0＜a≤1.综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件为a≤1.[构建·体系]1.若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】设p：{x||x＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵AB，∴p是q的充分不必要条件.【答案】A2.“sinA＞cosB”是△ABC为锐角三角形的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当A＝120°，B＝45°时，△ABC为钝角三角形；当△ABC是锐角三角形时，A＋B＞90°，A＞90°－B，又0°＜A,90°－B＜90°，则sinA＞sin(90°－B)＝cosB.【答案】B3.已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()＝－eq\f(1,2) ＝－1＝5 ＝0【解析】a⊥b⇔2(x－1)＋2＝0⇔x＝0.【答案】D4.已知p：x2－x－2＜0，q：x∈(－1，m)且p是q的充分不必要事件，则实数m的取值范围是()＞2 ≥2C.－1＜m＜2 D.－1＜m≤2【解析】由x2－x－2＜0，得x∈(－1,2).∵p是q的充分不必要条件，∴(－1,2)(－1，m)，∴m＞2.故选A.【答案】A5.若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.【导学号：32550006】【解析】p：x(x－3)＜0则0＜x＜3，q：2x－3＜m则x＜eq